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1、1,第四章 機率概論,陳順宇 教授成功大學統計系,2,量測某件事情會發生的機會稱之為機率機率的觀念是整個統計決策理論的基礎，利用機率才可以討論不確定性，,3,4.1 事件與機率,統計上所謂實驗(亦稱為試驗，)是一種活動，它的實驗結果在未實驗前 不知道那一種會發生，因此是不確定的。,4,統計的實驗並不一定要像在實驗室內的化學實驗或醫學實驗，可能只是簡單的擲兩個骰子，看其出現的點數。通常實驗完後就能得到一組資料，,5,而一個“事件”(Event)是實驗的 一個或多個可能結果所組成，習慣上以英文大寫字母表示。,6,樣本空間,做一實驗 所有可能結果所成的集合稱為樣本空間，我們以U表示,7,例4.1、,
2、擲一個骰子實驗，觀察出現的點數，請寫出此實驗的樣本空間,8,9,例4.2、,擲一個硬幣兩次，觀察每次是正面或反面，請寫出其樣本空間,10,11,例4.3、,一袋子內有紅球3個，白球2個，黃球1個某人任意從袋中取出一球觀察其顏色，試寫出其樣本空間,12,13,註：,從袋中取球，取到紅球、白球、黃球的機會並不相等,14,例4.4、,擲一個骰子兩次，觀察每次出現點數，寫出此實驗的樣本空間,15,16,註1：若令 S=1,2,3,4,5,6，則 U=S S，樣本空間也可寫成,17,同時擲兩個骰子,註2：若在例4.4，擲一個骰子兩次改為 同時擲兩個骰子，觀察出現的點數(a)當此兩個骰子看成不同(例如塗上
3、不同顏色)，則兩種實驗的樣本空間與例4.4是相同的；,18,(b)但如將兩個骰子看成相同，則其樣本空間可表成,19,註3：,如果我們關心的是擲二個骰子的點數和，則樣本空間也可以表示成U=2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,20,事件是樣本空間的部分集,21,常用的機率定義法有,(1)古典機率(2)相對次數機率(3)主觀機率,22,(1)古典機率,23,例4.5、(例4.4續)擲二個骰子的實驗,令A表示出現點數和為6的事件，B表示兩個骰子同點數的事件，(1)寫出事件A事件B的集合；(2)求兩個骰子和為6的事件A之機率？(3)求兩個骰子同點數事件B的機率？,24,擲二個骰子的實驗,令
4、A表示出現點數和為6的事件 A=(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)令B表示兩個骰子同點數的事件，B=(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),25,26,P(A)=事件A發生的機率,P(A)的數值永遠是介於0與1之間,27,擲兩個骰子共有36種可能結果,28,(1)點數和為6的事件A在上述排列中 有5種，故事件A的機率為 P(A)=5/36(2)兩個骰子同點數的事件共有6種，故事件B的機率為 P(B)=6/36,29,注意：,(1)不能以兩個骰子的點數和可能情形有 2,3,4,.,11,12共有11種結果，以P(A)=1/11來計算，這種做
5、法不正確，理由是各種點數和出現的機率不一樣。,30,例4.7、(例4.6續),一袋中有3個紅球，1個白球，由袋中取球兩次，每次取一球，觀其顏色後放回袋中,31,(1)寫出樣本空間U；(2)寫出第一次取到紅球的事件A1，並求P(A1)=？(3)寫出第二次取到紅球的事件A2，並求P(A2)=？(4)寫出A1 A2 的事件，並求P(A1 A2)=？,32,樣本空間,33,第一次取到紅球的事件,34,第一次取到紅球的機率,35,第二次取到紅球的事件,36,第二次取到紅球的機率,37,第一次與第二次都取到紅球的事件為A1 A2,38,第一次與第二次都取到紅球的機率,39,例4.8、(例4.7續),一袋中
6、有3個紅球，1個白球，由袋中取球兩次，每次取一球，觀其顏色後不放回袋中，,40,(1)寫出樣本空間U；(2)寫出第一次取到紅球的事件A1，並求P(A1)=？(3)寫出第二次取到紅球的事件A2，並求P(A2)=？(4)寫出A1 A2 的事件，並求P(A1 A2)=？,41,樣本空間,42,第一次取到紅球的事件,43,第一次取到紅球的機率,44,第二次取到紅球的事件,45,第二次取到紅球的機率,46,第一次與第二次都取到紅球的事件為A1 A2,47,第一次與第二次都取到紅球的機率,48,2.相對次數機率,以n次實驗後，事件A發生了k次，則其相對次數是k/n，因此定義事件A的機率為k/n，即 P(A
7、)=k/n以這種定義法時，實驗次數n通常要很大。,49,例如，觀察過去1000天，台南地區下雨的天數有120天，則我們就說台南地區每天下雨的機率是120/1000=0.12。,50,3.主觀的機率,是由決策者本身認為某事件 發生的機會是多少來定其機率，華德(Wald)所提決策理論就是 利用主觀機率與客觀的資料合併做決策。,51,例如，某氣象播報員說台南市 明天下雨的機率是0.2，或是在賽馬中，張三認為某匹馬 會贏第一的機會是30%等，這都是主觀的機率的例子,52,事件機率必需滿足基本假設,(1)非負數：對任何事件A，0 P(A)1。,53,(2)標準化：,必然發生事件的機率為1，P(U)=1
8、其中U為樣本空間,54,(3)加法性：,(3)事件A,B互斥(即當A B=)，則 P(A B)=P(A)+P(B)。,55,註：,P(Ac)=1-P(A)，其中Ac是A的補集，即事件A不發生的機率與事件A發生的 機率和為1。,56,若兩事件A,B滿足 P(AB)=P(A)P(B)稱事件A,B是獨立，否則稱事件A,B是相依(不獨立),57,例4.9(例4.7續)、,一袋中有3個紅球，1個白球，由袋中取球兩次，每次取一球，觀其顏色後放回袋中，第一次取到紅球的事件A1，第二次取到紅球的事件A2，事件A1與A2是否獨立,58,59,例4.10(例4.8續)、,一袋中有3個紅球，1個白球，由袋中取球兩次
9、，每次取一球，觀其顏色後不放回袋中，第一次取到紅球的事件A1，第二次取到紅球的事件A2，事件A1與A2是否獨立？,60,61,串聯,62,排容原理,P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB),63,並聯,64,4.2 基本機率觀念,實際應用上我們常面臨的不是單一事件，而是關心兩事件(或更多)發生的狀況，分成四種情形討論,65,1.事件A,B都發生的機率,A,B兩事件是獨立 P(AB)=P(A)P(B),66,例4.3、(例4.2續),A表擲兩個骰子的點數和為6的事件，B表擲兩個骰子點數相等的事件，試問A,B兩事件是否獨立？,67,【解】,P(AB)=1/36 P(A)=5/36 P(B)=6/
10、36 P(AB)P(A)P(B)因此A,B兩事件不獨立。,68,2.事件A,B中至少有一發生的機率,A,B兩事件中，至少有一事件發生的機率寫成 P(AB),69,我們已要求當A,B事件互斥時(即AB=)，則 P(AB)=P(A)+P(B)但若A,B不互斥的話，則有下列一般等式：P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB),70,AB=(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(1,1),(2,2),(4,4),(5,5),(6,6)P(AB)=10/36,71,P(A)+P(B)-P(AB)=5/36+6/36 1/36=10/36=P(AB),72,聯合機率,聯合機率是討論兩
11、個不同性質分類後，問各分類有某種特性的機率。,73,員工性別與抽菸與否交叉列表,74,性別與抽菸與否的聯合機率,75,邊際機率,如果令M表示男員工的事件，F表示女員工的事件，S表示抽菸員工的事件，N表示不抽菸員工的事件，則由提供的資料知 P(M)=2000/3000=2/3 P(F)=1000/3000=1/3 P(S)=650/3000=13/60 P(N)=2350/3000=47/60P(M),P(F)稱為性別屬性的邊際機率P(S),P(N)稱為抽煙與否屬性的邊際機率,76,員工性別與抽菸聯合機率,77,如果年終公司摸彩,第一特獎有一位，則第一特獎抽到的是女員工機會是P(F)=1/3。而
12、抽到第一特獎的是會抽菸的女員工之機率就是 P(FS)=50/3000=1/60,78,條件機率,條件機率對學習統計是必要的，因為統計是由提供訊息做決策，它會因提供的資料不同，而算出不同的機率，導出不同的決策。,79,當已知事件B發生時，問事件A會發生的機率，寫成P(A|B)。,80,一袋中有 3個紅球，1個白球，大明與 小華分別由袋中取球 1次，大明先取，觀其顏色後不放回袋中，輪由小華取球，已知大明抽到紅球，請問小華也抽到紅球的機會是多少,81,P(A|B)=2/3,82,條件機率,83,例4.13、(例4.12續),再以員工性別及抽菸為例，如我們已經知道得第一特獎的是女員工，問她會抽菸的機率
13、是多少？,84,【解】,85,給事件B，求事件A發生的機率,86,例4.14、班上50位學生要抽5位代表出公差,(1)第一位抽中出公差的機率是多少？(2)若已知第一位抽中出公差，試問第二位抽到出公差的機會是多少？,87,(3)若已知第一位未抽中出公差，試問第二位抽到出公差的機會是多少？(4)若未提供第一位抽中出公差與否，第二位抽中出公差的機率是多少？(5)以你觀點看，先抽者抽中出公差機率 大，或是後抽者抽中出公差的機率大？,88,89,當A,B兩事件獨立時(即P(AB)=P(A)P(B)，則,(i)P(A|B)=P(A)(當P(B)0)(即提供B的訊息對A發生的機率沒有影響)(ii)P(B|A
14、)=P(B)(當P(A)0)(即提供A的訊息對B發生的機率沒有影響),90,例4.15、,令A表某人在下期某張統一發票 中特獎的事件，B表此人擲10個骰子，每個骰子都出現點數1的事件,91,試問,(1).A、B兩事件何者的機率高？(2).A、B兩事件是否獨立？(3).A、B兩事件都發生的機率是多少？(4).已知此人擲10個骰子都出現點數1(表運氣很好)，請問他這張發票會中統一發票特獎的 機率是多少？,92,【解】,93,4.5貝氏公式,94,驗前機率,精華公司由甲、乙兩供應商分別提供70%與30%的映像管，映像管經組裝成電視機，若由精華公司生產出的電視機中任意抽樣一件，則此電視機的映像管來自甲
15、供應商的機率是0.7，來自乙供應商的機率是0.3，此兩個機率稱為事前機率(或驗前機率 Prior)。,95,由過去的資料顯示：,甲供應商提供的映像管有3%是不良品乙供應商提供的映像管有6%是不良品任意抽樣一件電視機的映像管是不良品，請問此抽樣的不良品映像管 來自甲供應商的機率是否仍為0.7呢？,96,來自甲供應商的機率(事後機率),97,事前機率,新的資訊,貝氏定理,事後機率,98,例4.9、(例4.4續),已知大華公司員工3000人中 有2000位男員工，而男員工中有30%抽煙，女員工中有5%抽煙。有一天傍晚，總經理在公司內看到遠處有一員工抽煙，但不知是男是女，請問抽煙者是男生的機率是多少？
16、,99,解法(1),由表4.1知全部員工中抽煙者有650位，其中男生佔600位，故P(M|S)=600/650即為答案。,100,解法(2),101,102,103,104,105,表4.3 大華公司各部門抽菸人數統計表,106,如果有一天傍晚，總經理在公司內看到遠處有一位員工在抽煙，請問此員工是人事部門的機率是多少？,107,108,109,1.了解機率在統計扮演的角色,主要在統計推論(估計、檢定)，例如(a)估計問題：信賴區間之信賴度。(b)檢定問題：型I、型II誤差及值。(c)抽樣分配：抽樣分配，及抽樣誤差,110,2.了解條件機率的重要性與統計上之關聯(統計常由於得到不同資訊而做不同決策),111,3.兩事件A,B獨立性的條件是 P(A|B)=P(A)(或P(A B)=P(A)P(B)，以袋中取球為例，第一次取出為紅球的事件與第二次取出是紅球的事件 在放回時是獨立、不放回時則不獨立,112,4.了解貝氏公式的應用,知道驗前機率P(E1)與驗後機率P(E1|S)之差別，由此了解提供資訊S是否對事件E1有用？(所謂有用，即P(E1|S)P(E1)如有用則表示兩事件不獨立的，否則兩事件是獨立的,
