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1、课前练习,Calculation of double integral,微,积,分,电,子,教,案,9.2 二重积分的计算,三、二重积分的应用,一、利用直角坐标计算二重积分,二、利用极坐标计算二重积分,X型区域D：,积分区域表示法：,Y型区域D：,一、利用直角坐标计算二重积分,截面（曲边梯形）的面积,用区间a，b内任一点x处的截面面积：,1、积分区域为X型：,1.2、直角坐标系下二重积分的计算公式,区间x，x+dx上对应的体积微元：,整个曲顶柱体的体积：,一、利用直角坐标计算二重积分,X型区域对应的二重积分计算公式。,二重积分的计算可以通过计算两次定积分来完成：在先进行的定积分 中，y是积分变
2、量，而x是作为常数对待，计算的结果一般是x的函数；然后以第一次积分的结果作为被积函数，在区间a，b上进行第二次积分。二重积分化成“二次积分”或“累次积分”。,一、利用直角坐标计算二重积分,X型区域对应的二重积分计算公式通常记为：,一、利用直角坐标计算二重积分,2、积分区域为Y型：,类似可得Y型区域的二重积分计算公式：,一、利用直角坐标计算二重积分,X型区域对应的二重积分计算公式为：,Y型区域对应的二重积分计算公式为：,计算二重积分要先:定区域类型,定积分次序,定上下限.,一、利用直角坐标计算二重积分,例1 化二重积分,其中D是由x=0、y=1及y=x围成的平面区域。,解：,(1)将D表示为 X
3、型区域:,为两种次序的二次积分,(2)将D表示为 Y型区域:,一、利用直角坐标计算二重积分,例2,解：,交换积分次序后,一、利用直角坐标计算二重积分,又例,解：,交换积分次序,一、利用直角坐标计算二重积分,例3,解：,D是由 y=x2及y=x 围成,分别对,一、利用直角坐标计算二重积分,例3,解：,D是由 y=x2及y=x 围成,分别对,一、利用直角坐标计算二重积分,解：,例4,D由y=x、y=1/x及x=2围成.,一、利用直角坐标计算二重积分,解：如图,练习:,D由x=1,x=2,y=0,y=1围成.,矩形区域,一、利用直角坐标计算二重积分,例5 证明：若积分区域D为矩形区域，且被积函数可以
4、分离为x与y两个单一变量函数的乘积，即 f(x,y)=f 1(x)f2(y),则有：,证明：,一、利用直角坐标计算二重积分,例如 已知,则,一、利用直角坐标计算二重积分,解：,例6,设D由y=x,y=1及x=0围成,一、利用直角坐标计算二重积分,一、利用直角坐标计算二重积分,解：积分区域如图,例7,D由 x=1,y=0 及y=1围成.,一、利用直角坐标计算二重积分,一、利用直角坐标计算二重积分,二、利用极坐标计算二重积分,2.1、极坐标系的建立,直角坐标系的建立,是用两组坐标线构造网络,极坐标系的建立,是用一组同心圆,一组射线构造网络,O极点 Or极轴q 极角 r极径,2.1、极坐标与直角坐标的关系：,x=rcosqy=rsinq,从(x,y)到(r,q)变换公式为:,r2=x2+y2,从(r,q)到(x,y)变换公式为:,(r,q),二、利用极坐标计算二重积分,2.3、平面曲线的极坐标表示法,圆的方程,x2+y2=a2(a是常数)即,x2+y2=2ax 即,圆心(a,0),半径a,圆心(0,0),半径a.,x2+y2=2ay 即,圆心(0,a)，半径a,二、利用极坐标计算二重积分,作业：,习题9-2（P365）1（2,3），2（1，2），5（1，2，3，4）,
