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1、,自然界变化的过程可以分为确知过程和随机过程两大类,每次观测所得结果都相同，都是时间t的一个确定的函数，具有确定的变化规律。,每次观测所得结果都不同，都是时间t的不同函数，观测前又不能预知观测结果，没有确定的变化规律。,确知过程,随机过程,2.随机过程,正弦信号,调制信号,周期性脉冲信号,雷达接收机的噪声,鸟叫声,爆破信号,实际过程,2.1随机过程的基本概念及定义,2.1 随机过程的基本概念及定义,2.2 随机过程的统计描述,2.3 平稳随机过程,2.4 随机过程的联合分布和互相关函数,2.5 随机过程的功率谱密度,2.6 典型的随机过程,2.随机过程,2.1随机过程的基本概念及定义,随机相位
2、信号,2.1随机过程的基本概念及定义,接收机噪声,t1,1、随机过程(Stochastic Process)定义,2.1随机过程的基本概念及定义,定义1：设随机试验E的样本空间为S=e，对其每一个元素 都以某种法则确定一个样本函数,由全部元素e所确定的一族样本函数 称为随机过程,简记为。,定义2：设有一个过程，若对于每一个固定的时刻，是一个随机变量，则 称为随机过程。,随机过程是样本函数的集合,随机过程是随机变量的集合,随机过程X(t,e)四种不同情况下的意义：,当t固定，e固定时，X(t)是一个确定值；,当t固定，e可变时，X(t)是一个随机变量；,当t可变，e固定时，X(t)是一个确定的时
3、间函数；,当t可变，e可变时，X(t)是一个随机过程；,2.1随机过程的基本概念及定义,2、随机过程分类,2.1随机过程的基本概念及定义,2.1随机过程的基本概念及定义,半二元传输信号,用无数次投掷硬币的随机试验来定义一个随机过程X(t)，,X(t)称为半二元传输信号。,2.1随机过程的基本概念及定义,0,质点沿x轴作随机游动,0 1 2 3 4 5 6 7,随机游动,设X(n)表示质点在t=n时刻与原点的距离，如果X(n-1)=k，那么，,在实际中还有一类过程，它是按照确定的数学公式产生的时间序列，它是一个确定性的时间序列，但它的变化过程表现出随机序列的特征，我们把它称为伪随机序列，伪随机序
4、列可以用来模拟自然界实际的随机过程。,伪随机序列,2.1随机过程的基本概念及定义,1、一维概率分布,连续随机过程：,随机序列：,2.2随机过程的统计描述,一、随机过程的概率分布,例1、设随机振幅信号 其中 是常数，Y是均值为零，方差为1的正态随机变量，求 时的概率密度。,2.2随机过程的统计描述,2、二维概率分布,注意：X(t1)及X(t2)为同一随机过程上的随机变量。,2.2随机过程的统计描述,例2、设随机相位信号其中，且取值概率各为1/2,求，时的一维和二维概率分布。,2.2随机过程的统计描述,二、随机过程的数字特征,均值,方差,均值与方差的物理意义：,表示消耗在单位电阻上的总的平均功率。
5、,2.2随机过程的统计描述,相关函数(correlation function),相似均值和方差的随机过程,2.2随机过程的统计描述,协方差函数,2.2随机过程的统计描述,离散随机过程数字特征,和,2.2随机过程的统计描述,例3、设随机振幅信号为其中 为常数，V是标准正态随机变量。求该随机信号的均值、方差、相关函数和协方差函数。,2.2随机过程的统计描述,离散形式：,三、随机过程的特征函数,2.2随机过程的统计描述,例4、设 为相互独立的随机变量序列，其分布为 求随机过程 的一维分布。,2.2随机过程的统计描述,第四讲：小 结,随机过程,随机变量的统计特性,随机过程是样本函数的集合,随机过程是
6、随机变量的集合,随机过程的概率分布,随机过程的数字特征,均值,方差,相关函数,协方差函数,课后作业：2.3、2.4,随机变量的统计特性,随机过程的特征函数,离散形式：,一、定义,一维概率密度：,二维概率密度：,2.3平稳随机过程,(1)严格平稳随机过程(Strictly stationary Process),(2)广义平稳随机过程(Weakly stationary Process),2.3平稳随机过程,例1、设随机过程X(t)=At，A为标准正态分布的随机变量。试问X(t)是否平稳？,例2、设随机过程Z(t)=Xcost+Ysint，-t。其中X，Y为相互独立的随机变量，且分别以概率2/3
7、、1/3取值-1和2。试讨论随机过程Z(t)的平稳性。,2.3平稳随机过程,二、平稳随机过程自相关函数性质,若随机过程不含周期分量，,2.3平稳随机过程,相关函数示意图,2.3平稳随机过程,若随机过程含有周期分量，则自相关函数也含有同周期的周期分量,例3、已知平稳随机过程X(t)的自相关函数为 求X(t)的均值和方差。,三、相关系数及相关时间,相关系数：,也称为归一化协方差函数或标准协方差函数。,相关时间：,相关时间示意图,2.3平稳随机过程,两个不同相关时间随机过程的样本函数,2.3平稳随机过程,2.3平稳随机过程,例4、已知平稳随机过程X(t)的自相关函数为 求X(t)的相关系数。,四、随
8、机过程的遍历性（ergodic）,定义：对于平稳随机过程X(t)，若有,则X(t)为遍历过程。,其中,2.3平稳随机过程,各态历经过程与非各态历经过程示意图,2.3平稳随机过程,遍历性判断：,均值遍历性：,零均值平稳正态随机信号：,相关函数遍历性：,2.3平稳随机过程,均值和自相关函数估计：,连续随机过程：,随机序列：,2.3平稳随机过程,例5、判断随机过程X(t)=Y的遍历性，其中Y是方差不为零的随机变量。,2.3平稳随机过程,第五讲：小 结,平稳随机过程,严格平稳随机过程,广义平稳随机过程,平稳随机过程自相关函数性质,相关函数示意图,第五讲：小 结,平稳随机过程,相关系数,相关时间,相关时间示意图,随机过程的遍历性,课后作业：2.10,
