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1、第六章 离散系统z域分析,6.1 z 变换一、从拉普拉斯变换到z变换二、收敛域6.2 z 变换的性质6.3 逆z变换6.4 z 域分析一、差分方程的变换解二、系统的z域框图三、利用z变换求卷积和四、s域与z域的关系五、离散系统的频率响应,点击目录，进入相关章节,第六章 离散系统z域分析,在连续系统中，为了避开解微分方程的困难，可以通过拉氏变换把微分方程转换为代数方程。出于同样的动机，也可以通过一种称为z变换的数学工具，把差分方程转换为代数方程。,6.1 z变换,一、从拉氏变换到z变换,对连续信号进行均匀冲激取样后，就得到离散信号:,取样信号,两边取双边拉普拉斯变换，得,令z=esT，上式将成为
2、复变量z的函数，用F(z)表示；f(kT)f(k)，得,称为序列f(k)的双边z变换,称为序列f(k)的单边z变换,若f(k)为因果序列，则单边、双边z 变换相等，否则不等。今后在不致混淆的情况下，统称它们为z变换。,F(z)=Zf(k),f(k)=Z-1F(z)；f(k)F(z),6.1 z变换,二、收敛域,z变换定义为一无穷幂级数之和，显然只有当该幂级数收敛，即,时，其z变换才存在。上式称为绝对可和条件，它是序列f(k)的z变换存在的充分必要条件。,收敛域的定义：,对于序列f(k)，满足,所有z值组成的集合称为z变换F(z)的收敛域。,6.1 z变换,例1求以下有限序列的z变换(1)f1(
3、k)=(k)k=0(2)f2(k)=1,2,3,2,1,解(1),可见，其单边、双边z变换相等。与z 无关，所以其收敛域为整个z 平面。,(2),f2(k)的双边z 变换为,F2(z)=z2+2z+3+2z-1+z-2,收敛域为0z,f2(k)的单边z 变换为,收敛域为z 0,对有限序列的z变换的收敛域一般为0z，有时它在0或/和也收敛。,6.1 z变换,例2 求因果序列,的z变换（式中a为常数）。,解：代入定义,可见，仅当az-1a=时，其z变换存在。,收敛域为|z|a|,6.1 z变换,例3 求反因果序列,的z变换。,解,可见，b-1z1,即zb时，其z变换存在，,收敛域为|z|b|,6.
4、1 z变换,例4 双边序列f(k)=fy(k)+ff(k)=,解,的z变换。,可见，其收敛域为azb（显然要求ab，否则无共同收敛域),序列的收敛域大致有一下几种情况：（1）对于有限长的序列，其双边z变换在整个平面；（2）对因果序列，其z变换的收敛域为某个圆外区域；（3）对反因果序列，其z变换的收敛域为某个圆内区域；（4）对双边序列，其z变换的收敛域为环状区域；,6.1 z变换,注意：对双边z变换必须表明收敛域，否则其对应的原序列将不唯一。,例,f1(k)=2k(k)F1(z)=,z2,f2(k)=2k(k 1)F2(z)=,z2,对单边z变换，其收敛域比较简单，一定是某个圆以外的区域。可以省
5、略。,常用序列的z变换：,(k)1，z0,(k),，z1,，z1,(k 1),6.2 z变换的性质,一、线性,6.2 z变换的性质,本节讨论z变换的性质，若无特殊说明，它既适用于单边也适用于双边z变换。,若 f1(k)F1(z)1z1,f2(k)F2(k)2z2对任意常数a1、a2，则 a1f1(k)+a2f2(k)a1F1(z)+a2F2(z)其收敛域至少是F1(z)与F2(z)收敛域的相交部分。,例：2(k)+3(k)2+,，z1,6.2 z变换的性质,二、移位（移序）特性,单边、双边差别大！,双边z变换的移位：,若 f(k)F(z),0，则,f(km)zmF(z),z,证明：Zf(k+m
6、)=,单边z变换的移位：,若 f(k)F(z),|z|，且有整数m0,则,f(k-1)z-1F(z)+f(-1)f(k-2)z-2F(z)+f(-2)+f(-1)z-1,6.2 z变换的性质,f(k+1)zF(z)f(0)zf(k+2)z2F(z)f(0)z2 f(1)z,证明：Zf(k m)=,上式第二项令k m=n,特例：若f(k)为因果序列，则f(k m)z-mF(z),6.2 z变换的性质,例1：求周期为N的有始周期性单位序列,的z变换。,解,z1,例2：求f(k)=k(k)的单边z变换F(z).,解,f(k+1)=(k+1)(k+1)=(k+1)(k)=f(k)+(k),zF(z)z
7、f(0)=F(z)+,F(z)=,6.2 z变换的性质,三、序列乘ak(z域尺度变换),若 f(k)F(z),z，且有常数a0,则 akf(k)F(z/a),aza,证明：Zakf(k)=,例1：ak(k),例2：cos(k)(k)?,cos(k)(k)=0.5(ej k+e-j k)(k),6.2 z变换的性质,四、卷积定理,若 f1(k)F1(z)1z1,f2(k)F2(z)2z2 则 f1(k)*f2(k)F1(z)F2(z),对单边z变换，要求f1(k)、f2(k)为因果序列,其收敛域一般为F1(z)与F2(z)收敛域的相交部分。,例：求f(k)=k(k)的z变换F(z).,解：f(k
8、)=k(k)=(k)*(k-1),6.2 z变换的性质,五、序列乘k（z域微分）,若 f(k)F(z),z则,z,例：求f(k)=k(k)的z变换F(z).,解：,6.2 z变换的性质,六、序列除(k+m)(z域积分）,若 f(k)F(z),0，,则,z,若m=0,且k0，则,例：求序列 的z变换。,解,6.2 z变换的性质,七、k域反转(仅适用双边z变换）,若 f(k)F(z),z则 f(k)F(z-1),1/z1/,例：已知,，|z|a,求a k(k 1)的z变换。,解,，|z|a,，|z|1/a,乘a得,，|z|1/a,6.2 z变换的性质,八、部分和,若 f(k)F(z),z，则,ma
9、x(,1)z,证明,例：求序列(a为实数)(k0)的z变换。,解,，|z|max(|a|,1),6.2 z变换的性质,九、初值定理和终值定理,初值定理适用于右边序列，即适用于kM(M为整数)时f(k)=0的序列。它用于由象函数直接求得序列的初值f(M),f(M+1),，而不必求得原序列。,初值定理：,如果序列在kM时，f(k)=0，它与象函数的关系为 f(k)F(z)，z 则序列的初值,对因果序列f(k)，,6.2 z变换的性质,证明：,两边乘zM得,zMF(z)=f(M)+f(M+1)z-1+f(M+2)z-2+,6.2 z变换的性质,终值定理：,终值定理适用于右边序列，用于由象函数直接求得
10、序列的终值，而不必求得原序列。,如果序列在kM时，f(k)=0，它与象函数的关系为 f(k)F(z)，z 且01 则序列的终值,含单位圆,6.3 逆z变换,6.3 逆z变换,求逆z变换的方法有：幂级数展开法、部分分式展开法和反演积分（留数法）等。,一般而言，双边序列f(k)可分解为因果序列f1(k)和反因果序列f2(k)两部分，即 f(k)=f2(k)+f1(k)=f(k)(k 1)+f(k)(k)相应地，其z变换也分为两部分 F(z)=F2(z)+F1(z)，|z|,其中 F1(z)=Zf(k)(k)=,，|z|,F2(z)=Zf(k)(k 1)=,，|z|,6.3 逆z变换,当已知象函数F
11、(z)时，根据给定的收敛域不难由F(z)求得F1(z)和F2(z)，并分别求得它们所对应的原序列f1(k)和f2(k)，将两者相加得原序列f(k)。,一、幂级数展开法,根据z变换的定义，因果序列和反因果序列的象函数分别是z-1和z的幂级数。其系数就是相应的序列值。,例：已知象函数,其收敛域如下，分别求其相对应的原序列f(k)。（1）|z|2(2)|z|1(3)1|z|2,6.3 逆z变换,解,（1）由于F(z)的收敛域在半径为2的圆外，故f(k)为因果序列。用长除法将F(z)展开为z-1的幂级数：z2/(z2-z-2)=1+z-1+3z-2+5z-3+,f(k)=1，1，3，5，k=0,（2）
12、由于F(z)的收敛域为z1，故f(k)为反因果序列。用长除法将F(z)（按升幂排列）展开为z的幂级数:,z2/(2 z z2)=,6.3 逆z变换,(3)F(z)的收敛域为1z2，其原序列f(k)为双边序列。将F(z)展开为部分分式，有,第一项属于因果序列的项函数F1(z)，第二项属于反因果序列的象函数F2(z)，,，z 1,，z 2,即将它们分别展开为z-1及z的幂级数，有,难以写成闭合形式。,6.3 逆z变换,二、部分分式展开法,式中mn,（1）F(z)均为单极点，且不为0,可展开为：,根据给定的收敛域，将上式划分为F1(z)(z)和F2(z)(z)两部分，根据已知的变换对，如,(k)1,
13、6.3 逆z变换,例1：已知象函数,其收敛域分别为：（1）z2(2)z1(3)1z2,解 部分分式展开为,(1)当z2，故f(k)为因果序列,(2)当z1，故f(k)为反因果序列,(3)当1z2，,6.3 逆z变换,例2：已知象函数,1z2,的逆z变换。,解,由收敛域可知，上式前两项的收敛域满足z1，后两项满足z2。,6.3 逆z变换,(2)F(z)有共轭单极点,如z1,2=cjd=ej,则,令K1=K1ej,若z,f(k)=2K1kcos(k+)(k)若z,f(k)=2K1kcos(k+)(k 1),(3)F(z)有重极点,F(z)展开式中含 项(r1)，则逆变换为,若z,对应原序列为,6.
14、3 逆z变换,以z为例：当r=2时，为 kak-1(k)当r=3时，为,可这样推导记忆：Zak(k)=,两边对a求导得 Zkak-1(k)=,再对a求导得Zk(k-1)ak-2(k)=,故Z0.5k(k-1)ak-2(k)=,6.3 逆z变换,例：已知象函数,，z1,的原函数。,解,f(k)=k(k-1)+3k+1(k),6.4 z域分析,6.4 z域分析,单边z变换将系统的初始条件自然地包含于其代数方程中，可求得零输入、零状态响应和全响应。,一、差分方程的变换解,设f(k)在k=0时接入，系统初始状态为y(-1),y(-2),y(-n)。,取单边z变换得,6.4 z域分析,令,称为系统函数,
15、h(k)H(z),例1：若某系统的差分方程为 y(k)y(k 1)2y(k 2)=f(k)+2f(k 2)已知y(1)=2，y(2)=1/2，f(k)=(k)。求系统的yx(k)、yf(k)、y(k)。,解,方程取单边z变换,6.4 z域分析,Y(z)-z-1Y(z)+y(-1)-2z-2Y(z)+y(-2)+y(-1)z-1=F(z)+2z-2F(z),6.4 z域分析,例2：某系统，已知当输入f(k)=(1/2)k(k)时，其零状态响应,求系统的单位序列响应h(k)和描述系统的差分方程。,解,h(k)=3(1/2)k 2(1/3)k(k),6.4 z域分析,二、系统的z域框图,另外两个基本
16、单元：数乘器和加法器，k域和z域框图相同。,6.4 z域分析,例3：某系统的k域框图如图，已知输入f(k)=(k)。(1)求系统的单位序列响应h(k)和零状态响应yf(k)。(2)若y(-1)=0，y(-2)=0.5，求零输入响应yx(k),解:(1)画z域框图,z-1,z-1,F(z),Yf(z),设中间变量X(z),X(z),z-1X(z),z-2X(z),X(z)=3z-1X(z)2z-2X(z)+F(z),Yf(z)=X(z)3z-1X(z)=(1 3z-1)X(z),6.4 z域分析,h(k)=2(2)k(k),当f(k)=(k)时，F(z)=z/(z-1),yf(k)=2k+3 2
17、(2)k(k),(2)由H(z)可知，差分方程的特征根为1=1，2=2,6.4 z域分析,yx(k)=Cx1+Cx2(2)k,由y(-1)=0，y(-2)=0.5，有,Cx1+Cx2(2)-1=0,Cx1+Cx2(2)-2=0.5,Cx1=1,Cx2=-2,yx(k)=1 2(2)k,三、利用z变换求卷积和,例：求2k(k)*2-k(k),解：,原式象函数为,原式=,1*2-k(k)？,6.4 z域分析,四、s域与z域的关系,z=esT,式中T为取样周期,如果将s表示为直角坐标形式 s=+j，将z表示为极坐标形式 z=ej,=eT，=T,由上式可看出：s平面的左半平面（z平面的单位圆内部（z=
18、0)-z平面的单位圆外部（z=1)s平面的j轴（=0)-z平面中的单位圆上（z=1)s平面上实轴（=0)-z平面的正实轴（=0)s平面上的原点（=0，=0）-z平面上z=1的点（=1，=0）,6.4 z域分析,五、离散系统的频率响应,由于z=esT，s=+j，若离散系统H(z)收敛域含单位园，则,若连续系统的H(s)收敛域含虚轴，则连续系统频率响应,离散系统频率响应定义为,存在。,令T=，称为数字角频率。,式中H(ej)称为幅频响应,偶函数；()称为相频响应。,只有H(z)收敛域含单位园才存在频率响应,6.4 z域分析,设LTI离散系统的单位序列响应为h(k),系统函数为H(z)，其收敛域含单
19、位园，则系统的零状态响应,yf(k)=h(k)*f(k),当f(k)=ejk时,若输入f(k)=Acos(k+),则其正弦稳态响应为,ys(k)=0.5A ej ej k H(ej)+0.5A e-j e-j k H(e-j),=0.5A ej ej k|H(ej)|ej()+0.5A e-j e-j k|H(e-j)|e-j(),=A|H(ej)|cos k+(),=0.5Aej k ej+0.5Ae-j k e-j,6.4 z域分析,例 图示为一横向数字滤波器。（1）求滤波器的频率响应；（2）若输入信号为连续信号f(t)=1+2cos(0t)+3cos(20t)经取样得到的离散序列f(k)
20、，已知信号频率f0=100Hz，取样fs=600Hz，求滤波器的稳态输出yss(k),解（1）求系统函数,Y(z)=F(z)+2z-1F(z)+2z-2F(z)+z-3F(z),H(z)=1+2z-1+2z-2+z-3,，|z|0,令=TS，z取e j,H(ej)=1+2e-j+2e-j2+e-j3,=e-j1.52cos(1.5)+4cos(0.5),6.4 z域分析,(2)连续信号f(t)=1+2cos(0t)+3cos(20t),经取样后的离散信号为(f0=100Hz,fs=600Hz),f(k)=f(kTs)=1+2cos(k0Ts)+3cosk(20Ts),令 1=0,2=0Ts=/3,3=20Ts=2/3,所以 H(ej1)=6，H(ej2)=3.46e-j/2,H(ej3)=0,稳态响应为,yss(t)=H(ej1)+2 H(ej2)cosk0Ts+(2)+3 H(ej3)cos2k0Ts+(3),=6+6.92cos(k/3-/2),可见消除了输入序列的二次谐波。,
