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1、第二章 数理统计的基本知识,在概率论中,随机变量的分布列或者分布函数全,我们总是假设它们已,那么，如何知道随机变量的统计规律呢?即使知,道了其分布规律,还需要知道分布中所含的参数.,都是数理统计要解决的问题.,面描述了随机变量的统计规律.,知.,引言 数理统计概述,这些,例1 如何估计产品的寿命？这是工业产品质量管,理中极重要的问题.,寿命试验是破坏性试验，,少量产品做试验，,只能抽取,为了评价某批电子设备的使用寿命，,随机抽取了17台做试验，测得寿命数据如下,（单位：小时）：,17，29，50，68，100，130，140，270，280，,问：整批电子设备中，寿命超过 200小时的设备,回
2、答该问题需要解决下列问题：,占的比例？,一、寿命分布类型；二、分布类型中的未知参数.,例2 在研究某批灯泡的质量时，假如我们关心,若把合格品记为0，不合格,的仅是其质量是否合格.,记为1，那么所有产品由0和1组成.换言之，所有产,组成的随机变量 X.,品可以看作由0 和1,若令不合格,品率为p，显然 X 是一个分布未知的随机变量.,的任务是：,对未知参数 p进行统计推断或估计.,我们,数理统计是数学的一个重要分支.,它研究怎样有,340，410，520，620，190，210，800，1100,效地收集整理和分析带有随机性的数据,以对所考察,提供依据和建议.,若不考虑随机性,则是统计学的研究范
3、围.,数理统计学的最基本概念是:,量、估计、假设检验、统计决策等.,的问题作出推断或预测，直至为采取一定的决策和行,总体、样本、统计,具体做法:,试验以取得信息然后对得到的信息整理、加工、提炼,从研究的对象的全体中抽取一部分观测或,从而对整体作出推断.,由于观察或试验是随机现象,依据有限个观测或,试验对整体所作出的推论不可能绝对准确,带有不确,定性，,我们用概率来表示这种不确定性.,概率大,推断,就比较可靠;,概率小,推断就比较不可靠.,这种伴随有一定概率的推断称为统计推断.,2.1 随机样本,2.2.1 总体与个体,在数理统计中，,把研究对象的全体所组成的集合,称为总体，,把组成总体的每个元
4、素称为个体.,然而在统计研究中，人们往往关心每个个体的一,项(或几项)数量指标和该数量指标在总体中的分布情,况.所以，,体具有的数量指标的全体就是总体.,每个成员具有的数量指标就是个体.,总体中个体的个数,容量为有限的总体称为有限总体.,容量,每个个,称为总体容量.,为无限的总体称为无限总体.,所以，总体可以看做是某随机变量的取值.,随机变量(向量)X,Y,Z,等表示总体.,通常用,随机变量X 的,分布称为总体的分布.,总体X 的分布就完全描述了总体,中所研究的数量指标的分布情况.,2.1.2 样本,为推断总体分,过程称为“抽样”，,所抽取的部分个体称为样本，,样本,由于所研究总体的分布情况未
5、知，,布及各种特征，,按一定规则从总体中抽取若干个体的,中所包含的个体数目称为样本容量.,从总体X 中抽取,的样本常表示为,X1,X2,Xn.,称为取自总体X 的容量,为n 的样本.,也可以记为,的取值为,称为样本观测值.,了使抽取的样本能很好地反映总体的信息，必须考虑,由于抽样的目的是为了对总体进行统计推断，为,抽样方法.,最常用的一种抽样方法叫作“简单随机抽样”，,它要求抽取的样本满足下面两点（定义）2.1,定义 2.1,设X 是具有分布函数F 的随机变量，若,是具有同一分布函数F 的相互独立的随,机变量，则称,为从总体X得到的容量为,n 的简单随机样本，简称样本.,样本的联合分布（函数）
6、,设总体 X 的分布函数为F(x)，则样本,的联合分布函数为,（4.1）,称之为样本分布.,特别地，若总体X 为离散型随机变量，其概率分布为,xi 取遍 X 所有可能取值，则样本的概率分布为,若总体X 为连续型随机变量，其密度函数为f(x),则样本的密度函数为,（2-3）,（2-2）,2.1.3 统计量,本中所含的(某一方面)的信息集中起来.,由样本值去推断总体情况，,需要对样本值进行“加,工”，,这就要构造一些样本的函数，,样本的函数能把样,定义2.2 不含任何未知参数的样本,的函数,几个常见统计量,称为样本的统计量.,3.样本的k 阶（原点）矩,4.样本的k中心矩,代入以上统计量,就得相应
7、的统计量的观测值.,性质 2.1(样本和方差的分布),设X1,X2,Xn 是取自正态总体的X 样本，,分别为样本均值和样本方差，且X 期望和方差分别为,2.2 经验分布与直方图,设 是取自分布函数为 的母体中,的一个简单随机子样的观测值,若把子样观测值由小到,2.2.1 经验分布函数,大排列得到,这里 是子样观测值,中最小的一个,是子样观测值中第i 个,小的数等,则下列函数称为经验分布函数,是一非减右连续函数,且满足,(子样分布函数).,由此可见，是分布函数，,称作经验分布函数或,显然,对于每一固定的x,是事件,它是一个随机变量.,当n固定时,由伯努利大数,只要n充分大,发生的,频率，,定律,
8、依概率收敛于,即对于任意的,2.3 抽样分布,统计学中泛称统计量的分布为抽样分布.,为了使用统计量进行统计推断，,通常需要知道统,计量的分布，,但是一般情况下，,要求出抽样分布是相,当困难的.,下面介绍三种常用的分布.,2.3.1 三种常用的分布,1）分布,设 是n个相互独立的随机变量，且,则称统计量,是服从自由度为n的 分布，记作,其密度函数为,（2-10）,（其中 表示咖玛函数）,称满足条件,（3）分布的上 分位点，,的点 为 分布的上 分位点.,2)t 分布,设若随机变量X与Y 相互独立，且有,则称,为自由度为n 的t 分布，记作,t 分布又称学生,氏(Student)分布.,t 分布的
9、密度函数如下图,显然图形是关于t=0对称的，当n充分大时，其图,当n很大时t 分布近似标准正态分布N(0,1),形类似于标准正态变量概率密度的图形.因为,称满足条件,t 分布的上 分位点，,的点 为 分布的上 分位点.,3）F 分布,且U与V 相互独立，则称,统计量,服从自由度为(n1,n2)的F 分布，记为,F分布的密度函数为,称满足条件,F分布的上 分位点，,的点 为 分布的上 分位点.,由F 的定义可见，,所以F 分布的上 分位点，有下列性质：,2.3.2 来自正态总体的常用统计量的分布,1）来自单一正态总体 的统计量的分布,分别为样本均值和样本方差，则有,定理2.1 设X1,X2,Xn 是取自正态总体的,的样本，,2）来自两个正态总体,的统计量,的分布,定理 2.2(两总体样本均值与样本方差的分布),分别是这两个样本的样本均值，,是取自X 的样本,是取自Y,且 X与Y 独立,的样本，,分别是这两个样本的样本方差,则有,（证明略）,例2.3 设在总体 中抽取一容量为21的样,本，其中 均未知，求,解 由,知，,于是,例2.4 设 是来自总体 的样本，,问统计量,解 因,所以，,所以，,定理2.1-2.2的说明：,是正态分布X1,X2,Xn的线性组合，,所以还是正态分布.,是 标准化,
