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1、9.3 全微分,教学要求：理解多元函数全微分的概念；会求函数的全微分；了解多元函数可微的必要条件和充分条件.,由一元函数微分学中增量与微分的关系得,一、全微分的定义,一元:y=f(x+x)-f(x)=f(x)x+(x),线性主部,dy,增量,一元函数 y=f(x)的微分概念：,若函数的增量：,能表示为：,则称函数 y=f(x)在点 x 处是可微的，并称,为函数的微分,当,例如：,存在时，,考虑边长分别为 x 和 y 的矩形的面积：,当两边长分别取得增量 和 时的改变量,第一部分,是 的线性函数,第二部分,全增量的概念,全微分的定义,事实上,可微与连续的关系,二、可微的条件,总成立,同理可得,证
2、明：,因为 z=f(x,y)在点(x,y)可微，故,所以，当函数可微时，全微分可写成,若分别取 z=x 和 z=y，则,叠加原理：二元函数的全微分等于它的两个偏 微分之和。,叠加原理：二元函数的全微分等于它的两个偏 微分之和。,叠加原理也适用于二元以上的多元函数的情形。,如设 u=f(x,y,z)则有,几点说明：,（2）对于多元函数，可微一定连续，,（3）对于多元函数，若可微，则偏导数一定存在，,问题3：对于多元函数，偏导数存在，函数是否一 定可微？,一元函数在某点的导数存在 微分存在,多元函数的各偏导数存在 全微分存在,？,例如，,则,当 时，,说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全 微分存在.,证,（依偏导数的连续性）,同理,解,所以全微分,解,例3,解,解,证,令,则,同理,不存在.,多元函数连续、可导、可微的关系,全微分在近似计算中的应用,也可写成,解,设函数,取,由二元函数全微分近似计算公式得,、多元函数全微分的概念；,、多元函数全微分的求法；,、多元函数连续、可导、可微的关系,（注意：与一元函数有很大区别）,三、小结,思考题,作业：习题9-3:1(1,3),2,3,
