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1、说明:1.由于R2,R3中的点与向量一一对应.因此,在无特别声明时,总用X,Y 等表R2,R3中的点(向量).用x,y,z,a,b,c 等表实数.,2.由于有多种乘积使用记号,因此,阅读教材时,应注意区别 a,A P,X B 的含意.,对+也类似.,以后在表述时不再区分这两个概念.,一、多元函数的概念,以前我们接触到的函数 y=f(x)有一个特点,就是只有一个自变量,函数 y 是随着这一个自变量的变化而变化的.我们称为一元函数.如 y=sinx,y=x2+3cosx 等.,11 多元函数的概念,所谓多元函数,直观的说,就是有多个自变量的函数.函数 y 随多个自变量的变化而变化.,圆柱体体积 V
2、=r 2 h,体积 V 随 r,h的变化而变化.,一对数(r,h),就有唯一的一个V与之对应.,或者说,任给,长方体体积V=xyz,V 随 x,y,z 的变化而变化.,一组数(x,y,z),就有唯一的一个V与之对应.,或者说,任给,这些都是多元函数的例子.有一个自变量的称为一元函数,有二个自变量的称为二元函数.有三个自变量的称为三元函数,有 n 个自变量的称为 n 元函数.二元以上的函数统称为多元函数.,与一元函数类似,我们有,二元函数定义,设D是xy平面上的一个点集,即 D R2,若对任意的点 X=(x,y)D R2,按照某个对应规则f,总有唯一确定的实数z 与之对应,则称 f 是定义在D上
3、的二元实值函数,记作,f:D R,X=(x,y)z.,习惯上,称 z=f(X)=f(x,y)为二元函数,另外,称 x,y 为自变量,z 为因变量.,比如 z=sinx+cosy,z=3x2+ey.,称 z 为点 X=(x,y)在 f 下的像,记作f(X)或 f(x,y),即z=f(X)=f(x,y).也称作 X=(x,y)所对应的函数值.,称 D 为函数f 的定义域.D在f 下的像集 f(D)=f(X)|XD 称为 f 的值域.,注1一般说来,自变量x,y都是独立变化的.它们只受到(x,y)D 的限制.,f(x,y)的表达式,算 f(x0,y0)的方法与一元函数类似.,另外,若给出了,如 f(
4、X)=f(x,y)=3x+y2,X0=(1,1),则 f(X0)=f(1,1)=3 1+12=4,f(x+y,siny)=3(x+y)+sin2y,注2特别,若定义域 D 是 x y 面上一条曲线.D:y=g(x).,=f(x,g(x)成为一元函数.,则二元函数 z=f(x,y),注3任何一个一元函数都可扩充为一个 二元函数.,事实上,z=f(x),=f(x)+0 y,只须将 z 作为一元函数的定义域 D R 扩充为R2 中点集即可.,注2,注3说明二元函数是一元函数的推广,而一元函数则是二元函数的特殊情形.二元函数是定义在 xy 平面某点集上的函数,而一元函数是定义在 xy 面上一条直线(x
5、 轴)上的二元函数.,类似的,有n元函数定义.,设D Rn,若对任意的 X=(x1,x2,xn)D Rn,按某个对应规则 f,总有唯一确定的实数 z 与之对应,则称 f 是定义在 D 上的 n 元实值函数.记作,f:D R,X=(x1,x2,xn)z.,并记 z=f(X),或 z=f(x1,x2,xn).,定 义,解：与一元函数类似.就是要求使这个式子有意义的平面上的点的集合.,例1求 z=ln(x+y)的定义域 D,并画出D的图形.,x+y 0.故 定义域 D=(x,y)|x+y 0,画直线 y1=x.由于 D 中点(x,y)的纵坐标 y 要大于直线 y1=x 上点的纵坐标 y1,故D表示直
6、线 y1=x 上方点的集合.(不包括边界y1=x上的点),为画 D 的图形,由x+y 0,得 y x=(y1).,x+y=0,x,y,o,如图,y x,D,(不包括直线x+y=0),例2,解:,故,故 D 表示到原点距离不超过1的点的集合.即,D 为单位圆盘(包括边界).,x,y,o,x2+y2=1,(包括圆周),D,例3,解:,D=(x,y)|y2 x 1,由 x y2(=x1)知,D在曲线 x1=y2的右侧.,由 x 1(=x1)知,D在直线 x1=1 的左侧.,如图,二、平面区域,1.邻域:,以点 X0=(x0,y0)为中心,以 为半径的圆内部点的全体称为 X0 的 邻域.,即,记(X0
7、,)=U(X0,)X0,称为 X0 的去心 邻域.,如图,U(X0,),(X0,),当不关心邻域半径时,简记为U(X0)和(X0).,2.内点:,E 的全体内点所成集合称为 E 的内部,记为E0.,D=(x,y)|x2+y2 1,如图,记EC=R2 E 称为E 的余集.若X0是 EC的内点,则称X0为E的外点.,设 E 是一平面点集,X0=(x0,y0)E,若存在邻域 U(X0,)E,则称 X0 为 E 的内点.,易知,圆内部的每一点都是D的内点.圆外的每一点都是D 的外点.但圆周上的点不是D 的内点,也不是D的外点.,又如 z=ln(x+y)的定义域 D=(x,y)|x+y 0,易见,直线上
8、方每一点都是D的内点.即 D=D,但直线上的点不是D的内点.,3.边界点:,E 的全体边界点所成集合称为 E 的边界.记作 E.,如,例1中定义域 D 的边界是直线 x+y=0 上点的全体.例2中定义域 D 的边界是单位圆周 x2+y2=1上的点的全体.如图,设 E 是一平面点集,X0=(x0,y0)是平面上一个点.若 X0的任何邻域 U(X0,)内既有属于 E 的点,又有不属于E的点,则称 X0 为 E 的边界点.,D,E 的边界点可以是 E 中的点,也可以不是E中的点.,可以证明:,E中的点 X0E只可能有两种情形.,(1)X0为E的内点.,(2)X0为E的边界点.,两者必居其一.,R2中
9、的点X只可能有三种情形.,(1)X为E的内点.,(2)X为E的边界点.,(3)X为E的外点.,4.开集,设 E 是一平面点集,若 E 中每一点都是 E 的内点.,即 E E0,则称 E 是一个开集.,由于总有 E0 E,因此,E E0 E=E0,故也可说,比如,例1中 D 是开集,(D=D0),而例2中 D 不是开集.,规定,R2为开集.,若E=E0,则称 E 是一个开集.,又比如,E 如图,若 E 不包含边界,则 E 为开集.,若 E 包含边界,则 E 不是开集.,结论:非空平面点集 E 为开集的充要条件是 E 中每一点都不是 E 的边界点.即 E 不含有 E 的边界点.,证:,必要性.设
10、E 为开集,X E,由开集定义知 X 为 E 的内点.故 X 不是 E 的边界点.,充分性：若 E 中每一点都不是 E 的边界点.,要证 E 为开集.,X E,由于 X 不是 E 的边界点.,而 E 中的点或者为 E 的边界点,或者为E的内点,两者必居其一,故 X 为E的内点,因此E为开集.,5.连通集,如图,X,Y,E 连通,设E是一非空平面点集,若X,YE.都可用完全含于E的折线将它们连接起来,则称E为连通集.,从几何上看,所谓 E 是连通集,是指 E 是连成一片的.E 中的点都可用折线连接.,例1,2中的 D 都是连通集.,如图,6.开区域(开域),设 E 是一平面点集.,比如,例1中D
11、是开区域.,如图.,从几何上看,开区域是连成一片的,不包括边界的平面点集.,若 E 是连通的非空开集,则称 E 是开区域.,7.闭区域(闭域),若 E 是开域,记,称为闭区域.,如图.,易见,例2中的D是闭区域.从几何上看,闭区域是连成一片的.包括边界的平面点集.,(本书把)开区域和闭区域都叫作区域.,易见,例1中 D 是无界集,它是无界开区域,而例2中 D 是有界集,它是有界闭区域.,8.设 E R2,若存在r 0,使 E U(O,r),则称E为有界集.否则称E为无界集.,9.聚点,从几何上看,所谓 X0 是 E 的聚点是指在 X0 的附近聚集了无限多个 E 中的点.即,在 X0 的任意近傍
12、都有无限多个 E 中的点.,设 E 是平面点集,X0 是平面上一个点.若X0的任一邻域内总有无限多个点属于E.则称 X0 是E 的一个聚点.,如图,1.聚点定义也可叙述为:若 X0 的任一邻域内至少含有 E 中一个异于X0 的点.则称 X0 为 E 的 一个聚点.(自证).,2.E 的聚点 X0可能属于 E,也可能不属于E.,3.E 的内点一定是 E 的聚点.,4.若 E 是开区域.则 E 中每一点都是 E 的聚点.,即,区域中的任一点都是该区域,的聚点.,10.孤立点,若点X0E,且存在0,使得邻域U(X0,)内除X0外,所有点均不属于E,即(X0,)E=,则称 X0 为 E 的孤立点.,如
13、图.,显然,E的孤立点X0总是E的边界点,但不是聚点.,邻域,内点,边界点,开集,连通,有界,开区域,闭区域,聚点，孤立点这些概念都可毫无困难地推广到三维空间 R3 中去,且有类似的几何意义.它们还可推广到 4 维以上的空间中去,但不再有几何意义.,设 z=f(X)=f(x,y)的定义域是平面区域 D.,按二元函数定义,X=(x,y)D.可以唯一确定实数 z,从而确定了空间一个点 M(x,y,z).,三、二元函数的几何意义,当X 在D中变动时,点M(x,y,z)在空间中变动,当 X 取遍 D 中一切点时,M(x,y,z)在三维空间中织出一片曲面.,即,二元函数表示空间中一片曲面,D是该曲面在
14、xy 面上的投影区域.,M(x,y,z),如 z=ax+by+c,表平面.,注意,三元函数 u=f(x,y,z)的定义域是 R3 的一个子集.,三元函数无几何意义.,一、二元函数的极限,12 多元函数的极限与连续,回忆一元函数的极限.设 y=f(x),当 x 不论是从 x0的左边,还是从x0的右边无限接近于x0时,对应的函数值无限接近于数 A.,表示,如图,就是 0,0.,当0|x x0|时,有|f(x)A|.,设二元函数 z=f(X)=f(x,y),定义域为D.,如图,D,z=f(x,y),X,X,如果当X在D内变动并无限接近于X0时(从任何方向,以任何方式),对应的函数值 f(X)无限接近
15、于数 A,则称A,为当X趋近于X0时f(X)的极限.,f(X),类似于一元函数,f(X)无限接近于数 A可用|f(X)A|刻划.而平面上的点 X=(x,y)无限接近于点 X0=(x0,y0)则可用它们之间的距离,设二元函数 z=f(X)=f(x,y).定义域为D.X0=(x0,y0)是 D 的一个聚点.A 为常数.,若 0,0,当,对应的函数值满足,|f(X)A|,则称 A 为z=f(X)的,当 X 趋近于X0时(二重)极限.,记作,或,也可记作 f(X)A(X X0),或,f(x,y)A(x x0,y y0),定 义,注1.定义1中要求X0是定义域D的聚点,这是为了保证 X0的任意近傍总有点
16、X使得f(X)存在,进而才有可能判断|f(X)A|是否小于 的问题.,若D是一区域.则只须要求,就可保证 X0 是D的一个聚点.,另外,0|X X0|表示 X 不等于X0.,2.,如图,对二元函数 f(X),如图,有,点X以任何方式趋近于X0时,f(X)的极限都存在且为A.,因此,如果当X以某几种特殊方式趋于X0时,f(X)的极限为A.不能断定二重极限,若X以不同方式趋于X0时,f(X)的极限不同,则可肯定二重极限,3.极限定义可推广到三元以上函数中去,且多元函数极限的运算法则等都与一元函数相同.,例1.,用定义证明:,证:,0,时,有|f(x,y)0|).,考虑|f(x,y)0|,(要证 0
17、,使得当,要使|f(x,y)0|,只须,即,|f(x,y)0|,故,例2.设f(x,y)=,证明 f(x,y)在(0,0)点的极限不存在.,证:由注2知,只须证明当X 沿不同的线路趋于(0,0)时,函数f(x,y)对应的极限也不同即可.,考察 X=(x,y)沿平面直线 y=kx 趋于(0,0)的情形.,如图,对应函数值,从而,当 X=(x,y)沿 y=kx 趋于(0,0)时,函数极限,当 k 不同时,极限也不同.因此,f(x,y)在(0,0)的极限不存在.,请考察当X=(x,y)沿 x 轴,沿 y 轴趋于(0,0)的情形.,沿 x 轴,y=0.函数极限,=0,沿 y 轴,x=0.函数极限,=0
18、,但不能由此断定该二重极限为0(注2).,设 z=f(X)=f(x,y),在区域D上有定义.,则称 f(X)在 X0 连续,X0 称为 f(X)的连续点.,否则称 f(X)在 X0 间断,X0 称为 f(X)的间断点.,X=(x,y)D,X0=(x0,y0)D,二、二元函数的连续性,定义2,若 f(X)在 D 上每一点都连续,则称 f(X)在 D 上连续,记为 f(X)C(D).,易知,例2中 f(x,y)在(0,0)间断(极限不存在),每一点都间断.,注：,定义可推广到三元以上函数中去.,1.二元函数 f(X)在 X0 连续必须满足三个条件.在 X0 有定义,在 X0 的极限存在,两者相等,
19、2.多元连续函数的和,差,积,商(分母不为0)以及多元连续函数的复合仍是多元连续函数.,如 f(x)=exy sin(x2+y),=e0 sin0=0.,3.多元初等函数在它有定义的区域内都是连续的.所谓多元初等函数是指以 x,y,z,为自变量的基本初等函数 f(x),(y),g(z),以及常函数,经有限次四则运算和复合所构成的函数.,定义在区域 D 上的二元连续函数z=f(X)=f(x,y)表示了在D上的一片没有 空洞,没有 裂缝 的连续曲面.,这里条件 D 是一区域 是必要的.若D不是区域,z=f(X)可能不是通常意义下的连续曲面.,4.二元连续函数的几何意义:,例.设 D=(x,y)|x
20、,y 均为有理数 R2.z=f(x,y)是定义在 D 上的,在 D 上恒等于1,在别的点上无定义的函数,即,f(x,y)=,1,当(x,y)D时,无定义,当(x,y)D时.,如图,可知,(x0,y0)D,但曲面z=f(x,y)不是通常意义下的连续曲面.,三、有界闭区域上二元连续函数的性质,性质1.,性质2.,性质3.,使 f(X0)=C.,这些定理都可推广到三元以上的函数中去.,问,由性质3是否可得到 根的存在定理,如何表述?,例3.,解:,原式=,=0 1=0,例4.,解:,原式=,例5.,解:,原式=,故,例5似可用下述方法算.,从而,(1),函数定义域外,它们不是点(x,y)趋于(0,0
21、)时的路径.,则必须包括 x 轴,和 y 轴这两条路径(在这个函数的定义域内).,应补充讨论:当(x,y)沿 x 轴(y=0)趋于(0,0)时,有,(2),当(x,y)沿 y 轴(x=0)趋于(0,0)时,有,(3),综合得(1),(2),(3),问,是否有,提示:取 yn=kn xn,当n时,xn 0,kn 1,且kn 趋于1的速度比xn趋于0的速度快得多.,这一方法是否具有普遍性?即,是否总有,初学者在算二重极限时,容易引出下面算法:,如,=0,实质上,就是,设 z=f(X)=f(x,y)在区域 D 上有定义,X0=(x0,y0)为D的内点.,四、二次极限,考虑 X=(x,y)沿两条,特殊
22、路径趋近于X0=(x0,y0)时 f(x,y)的极限.,情形相当于下图,对应的函数极限为,称为先对 x,后对 y 的二次极限.,(1)先固定 y,令 x x0,即,让点(x,y)沿平行于 x 轴的直线趋于点(x0,y),然后,再令 y y0,(x0,y),(x,y),(x0,y0),(2)先固定 x,令 y y0,即,让点(x,y)沿平行于 y 轴的直线趋于点(x,y0),然后,再令 x x0,情形相当于下图,(x,y0),(x,y),(x0,y0),对应的函数极限为,称为先对 y,后对 x 的二次极限.,由于二次极限是沿特殊路径时的函数极限.有,如例2中,=0,=0,但二重极限不存在.,1.二次极限不一定等于二重极限.,(如二重极限不存在时,二次极限可能不相等.),即在很多情形中,所以,不能随便交换极限的顺序.,2.两个二次极限不一定相等.,如,=,=,?,?,
