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1、多元函数微分法及其应用 第二次习题课,一、内容及要求,1会求空间曲线的切线及法平面,（1）由参数方程给出时,切线方程法平面方程,（2）由一般式方程给出时,则,(3)交面式空间曲线的切线的另一求法。,切线为两切平面的交线。切向量Tn1n2.,2会求曲面的切平面与法线,(1)的方程为F(x，y，z)=0，M0是上一点，则法向量,(2)为z=f(x，y)时，fx、fy在(x0，y0)处连续，,3.方向导数与梯度,（1）方向导数,（i）定义,(ii)计算方法,对于三元函数,2）用定义。(函数不可微),1）公式：,(ii)性质（与方向导数的关系）函数f(x，y)的梯度是这样一个向量，它的方向与函数取得最
2、大方向导数的方向一致，而它的模为方向导数的最大值。,4多元函数的极值（1）多元函数极值的定义,（2）多元函数极值的必要条件与充分条件,（2）梯度(i)定义 f(x，y)在D内一阶偏导连续，,（3）多元函数最值的求法（i）一般的最值问题的求解方法 如f(x，y)在有界闭区域上连续，则最值一定存在。将D内的可能极值点（驻点或偏导不存在的点）处的函数值与函数在D的边界上的最值（通常化为一元函数最值问题或条件极值问题）相比较而确定。,（ii）实际问题中：如依问题的实际意义知f(x，y)的最大（小）值一定在D内取得，而函数在D内偏导数存在且驻点唯一，则可断言驻点处的函数值就是要求的最大（小）值。,4条件
3、极值及拉格朗日乘数法。（1）函数z=f(x，y)在条件,辅助函数,（3）函数u=f(x，y，z，t)在条件,下的极值,辅助函数,（2）函数u=f(x,y,z)在条件,辅助函数,二、典型例题,例1 求曲线 y2=2mx，z2=mx在点M0(x0，y0，z0)处的切线及法平面方程,解法一：公式法F(x，y，z)=2mxy2=0，G(x，y，z)=x+z2m=0。,Fx=2m，Fy=2y，Fz=0；Gx=1，Gy=0，Gz=2z。,切线方程,法平面方程（略）,解法二：将y、z视作x的函数，方程两端对x求导，有,在点(x0，y0，z0)处的切向量可取,切线方程为,法平面方程（略）,例2 在曲面z=xy
4、上求一点，使这点处的法线垂直于平面x+3y+z+9=0，并写出这法线的方程,解：曲面z=xy上点(x0，y0，z0)处的一个法向量为,已知平面的法向量为n1=1，3，1，依题意应有nn1，即,故所求点为(3，1，3)，所求法线方程为,解：,又因为,所以,在M点的内法线方向为,例4 设x轴正向到方向l 的转角为，求函数 f（x，y）=x2-xy+y2在点（1，1）沿方向l 的方向导数，并分别确定转角，使这导数有（1）最大值；（2）最小值；（3）等于0。,解：gradf（1，1）=1，1，,当l 的方向与gradf（1，1）一致时，,方向导数可取得最小值；,当l 的方向与-gradf（1，1）一致
5、时，,导数可取得最大值；,方向导数值为零。,或：根据方向导数的计算方法：,方向导数可取得最大值；,方向导数可取得最小值；,解,解,则,可得,即,例7,解,分析:,得,或作切平面平行于平面，设切点为(x0,y0,z0),解法一：设P(x，y，z)是交线上的一点，该点到xOy平面的距离为|z|。由于点P在柱面x2+y2=1上，所以有|x|1，|y|1于是,于是问题化为求函数d(x，y，z)=z在条件,引入辅助函数,解方程组,由（3）得=5，代入（1）、（2）得,将其代入（5）可得,所以交线上距离xOy平面距离最近的点坐标为,所以交线上距离xOy平面距离最远的点坐标为,解法二：,求交线上点与xoy平面的距离可转化为,引入辅助函数,解方程组,进而解得,
