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7.4 全微分,7.4.1 全微分的定义,由一元函数微分学中增量与微分的关系得,偏增量:,全增量的概念:,全微分的定义:,定理2(充分条件),证：,若函数,的偏导数,则函数在该点可微分.,所以函数,在点,可微.,注意到,故有,通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理,一元函数在某点的导数存在 微分存在,多元函数的各偏导数存在 全微分存在,？,例如，,则,当 时，,重要关系:,推广:,类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.,例如,三元函数,习惯上把自变量的增量用微分表示,记作,故有下述叠加原理,称为偏微分.,的全微分为,于是,例1.计算函数,在点(2,1)处的全微分.,解:,例2.计算函数,的全微分.,解:,可知当,7.4.3 全微分在近似计算中的应用,1.近似计算,由全微分定义,较小时,及,有近似等式:,(可用于误差分析或近似计算),(可用于近似计算),半径由 20cm 增大,解:已知,即受压后圆柱体体积减少了,例3.有一圆柱体受压后发生形变,到 20.05cm,则,高度由100cm 减少到 99cm,体积的近似改变量.,求此圆柱体,例4.计算,的近似值.,解:设,则,取,则,
