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1、引理1 设A Cnn(Cnn 表示n 阶复方阵集合).则A 可对角化的充要条件是对A 的每一个特征值j(j=1,2,k),R(j E-A)=n-rj.其中rj 为j 的重数.引理2 设A Cnn,若A 可对角化,则A 的最小多项式为mA()=(-1)(-2)(-k),其中1,2,k 为A 的所有互不相同的特征值.,内容概述,特征向量算法的总结与推广（1）矩阵乘法求矩阵特征向量的一个新方法（2）根据定义求解特征值与特征向量，并举例（3）圆盘定理，估计特征值特点及范围，并举例、图示（4）幂法求解特征值特征向量，并举例、算法、程序（5）反幂法求解特征值特征向量（6）列行互逆变换法（7）列初等变换法,
2、证明：因A 可对角化,由引理2 知,A 的最小多项式为,即,。这表明,的列向量为方程组,的解向量。由引理1 知,。因此齐次线性方程组,的解空间维数为。则,另一方面,由Sylvester 不等式,可得下面一些详细证明,步骤如下：,假设,且 则。,这表明矩阵,的列向量组的极大无关组所含向量个数为。,因而极大线性无关组就是对应于特征值,的特征向量空间的一个基。,例1,（2）根据定义求解特征值特征向量：例1：求 的特征值与特征向量。解：根据定义：所以特征值为-1和5，再将-1和5分别代入方程组中得到方程：和，并求得其基础解系分别为：和，则得出所对应的特征向量。,（3）特征值估计（格林戈什圆盘定理）：,
3、1、设,，则,的每一个特征值必属于下述圆盘之中,或者说,的特征值都在复平面上的,个圆盘的并集中。,2、如果,的,个圆盘组成一个连通的并集,与余下的,个圆盘是分离的，,内恰包含,的,个特征值。,则,大致内容可由右图表示：可以在两圆相交部分有一对对称的共轭复根，也可以在实轴的有一个实根。,例2、估计矩阵,的特征值范围。,解：,的3个圆盘为,根据圆盘定理，可知,有3个特征值位于3个圆盘的并集中，由于,是孤立圆盘，,所以 内恰好有 的一个特征值，即。,现在选取对角矩阵,做相似变换（相似变换不改变特征值的大小），,的3个圆盘为,显然，3个圆盘都是孤立圆盘，所以每一个圆盘都只包含一个特征值，估计范围为：,
4、从而我们就可以估计出特征值的范围或性质，给运算或证明带来便利。,（4）幂法：是一种计算矩阵主特征值及其对应特征向量的迭代方法，特别适用于大型稀疏矩阵。,设实矩阵，有一个完全的特征向量组，其特征值为，相,应的特征向量为。,已知,的主特征值是实根，且满足条件，,我们用幂法求,：我们由已知非零向量,即矩阵,的乘幂,构造向量序列,以计算,的主特征值及相应的特征向量。,向量的构造：,对任意非零初始向量，,按下述方法构造的向量序列,（1）,（2）,例3：用幂法计算,于是我们利用幂法得出相应的特征值与特征向量：,而真实值如下：,可见，幂法迭代出来的结果还是很理想的。,算法程序,（5）反幂法：,给定近似特征值
5、的特征向量。,反幂法用来计算矩阵按最小的特征值及其特征向量，也可用来计算对应于一个,设,为非奇异矩阵，,的特征值次序记为,，对应的,特征向量为,则,的特征值为,对应的特征向量,为,因此计算,的按模最小的特征值,的问题就是计算,的按模最大的特征值。,对于,应用幂法迭代（即反幂法），可求得,的主特征值,，从而求得,的按模最小特征值。,迭代公式为：,其中满足（1）,（2）,（6）列行互逆变换法定义1 把矩阵的下列三种变换称为列行互逆变换:,1.互换i、j两列,同时互换j、i两行,2.第i列乘以非零数k,同时第i行乘,3.第i列k倍加到第j列,同时第j行-k倍加到第i行。,定理1复数域C上任一n阶矩阵
6、A都与一个Jordan标准形矩阵,J=,相似,其中,称为Jordan块,的排列次序外被矩阵A唯一确定,J称为A的Jordan标准形。,并且这个Jordan标准形矩阵除去其中,Jordan块,定理2A为任意n阶方阵,若,（经过系列行列互逆变换）。,其中，J=,是Jordan标准形矩阵,则 为A的特征值,为A的对应特征值i的特征向量。,例4求,的特征值和特征向量。,解：,所以特征值,，对应特征值,的特征向量,对应,的特征向量。,（7）列初等变换法,设A是n阶方阵,I为n阶单位阵,为待求特征值。若对矩阵I-A施行一系列列初等变换,可得到下三角矩阵M(),则令M()的主对角线上元素乘积为零,求得值即为
7、矩阵A的特征值。,求特征值与特征向量的具体步骤：,(1)计算,其中C()为含的下三角矩阵,Q()为I经过初等,列变换得到的矩阵;,(2)令C()主对角线元素之积为零,求出根即为特征值i(i=1,2,n);,(3)将求出的i(i=1,2,n)代入,中为,化为列阶梯形,当非零列向量个数为r时,Q()中后的n-r个列向量即为i对应的,再进行列初等变换,当C(),特征向量。,例5：求,的特征值和特征向量。,解：,令C()主对角线元素之积为零,即,特征值,当,时，,当,时，,于是,时，对应的特征向量为,functionm,u,index=pow(A,ep,N)N=100;ep=1e-6;n=length(A);u=ones(n,1);index=0;k=0;m1=0;while k=N v=A*u;vmax,i=max(abs(v);m=v(i);u=v/m;if abs(m-m1)ep index=1;break;end m1=m;k=k+1;endm,u,index=pow(A,1e-6),例1 求矩阵 的特征向量。,解：解矩阵A的特征方程 的特征值为。,由于A为是对称矩阵，一定可对角化。因此A的最小特征多项式为,因而有,则 和 对应的特征向量分别为,和,
