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1、 18.4 条件极值,一、极值,二、条件极值拉格朗日乘数法,一、极值,若函数 在点 的某个邻域内成立不等式,则称 在点 取到极大值，点 称为函数 的极大点；,类似地，,若函数 在点 的某个邻域内成立不等式,则称 在点 取到极小值，点 称为函数 的极小点；,极大值与极小值统称为极值；极大点与极小点统称为极值点。,由定义可见，若 在点 取得极值，则当固定 时，一元函数 必定在 取相同的极值。,同理，一元函数 在 也取相同的极值。于是由一元函数极值的必要条件，可得,上述条件不是充分的，例如函数 在原点（0，0）有,但此函数的图形是一马鞍面，因而在原点没有极值。,设二元函数 在点 的偏导数存在，若 在
2、 取得极值，则,于是得到二元函数取得极值的必要条件如下：,称满足上式的点 为 的驻点或稳定点。,此外，函数在偏导数不存在的点仍然可能有极值，例如：,这是交于 Y 轴的两个平面。虽然，的点都是函数的极小点，但是当 时，偏导数不存在。,综上所述，函数的极值点只可能在偏导数等于零的点和偏导数不存在的点中产生。因此要求函数的极值，首先要求出所有使偏导数等于零的点（驻点）和偏导数不存在的点。然后考察该点周围函数的变化情况，以进一步判定是否有极值。,如何从驻点中找出极值点，关键在于判定表达式,为此我们考察,当点 在 附近变动时是否有恒定的符号。,的符号。,实二次型 为正定的必要条件是行列式,实二次型 为正
3、定的充要条件是矩阵 A 的顺序主子式都大于零。,实二次型 为负定的充要条件是矩阵 A 的奇数阶顺序主子式都小于零，偶数阶顺序主子式都大于零。,那末有以下结论：,当 时，函数有极值；,若，则函数有极大值。,若，则函数有极大值。,当 时，函数没有极值；,当 时，函数有无极值还需进一步考察判定。,例 1 求 的极值。,解,分别对 和 求偏导数并令其等于零，得方程组,解方程组得 的稳定点,再求 的二阶偏导数在 的值：,因为,且,所以 有极小值：,例 2 讨论 是否存在极值。,解,分别对 和 求偏导数并令其等于零，得方程组,解方程组得 的稳定点为原点：,再求 的二阶偏导数在 的值：,因为,所以 无极值。
4、,以前讨论的极值问题对自变量只有定义域限制，,这样的极值称为无条件极值.但还有很多极值问题，,除受自变量定义域限制外,还受到其他条件的限制.,例如，要设计一个容量为 V 的长方体开口水箱，试,问水箱的长、宽、高各为多少时，其表面积最小？,为此，设水箱的长、宽、高分别为 x,y,z,则表面,积为,依题意，上述的长、宽、高不仅要符合定义域的要,求：x 0,y 0,z 0,而且还须满足条件,这类附有约束条件的极值问题称为条件极值.,条件极值问题的一般形式是在条件组：,的限制下，求目标函数,的极值.,条件极值的一种求解方法是代入法.,例如，在上述例子中，由条件,解出,代入目标函数中，,然后求这个函数的
5、无条件极值.,得到,然而在一般情形下，这种方法往往是行不通的，因,为要从条件组,下面介绍的拉格朗日乘数法是求条件极值的一种有,效方法.,解出 m 个变元常常是不可能的.,拉格朗日乘数法.,则问题等价于一元函数,可确定隐函数,的极值问题,由极值的必要条件，知极值点 x0 必满足,设,记,故有,因,即,引入辅助函数,辅助函数L 称为拉格朗日(Lagrange)函数.,利用拉格,极值点必满足,则极值点满足:,朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.,1.作拉格朗日函数,利用拉格朗日乘数法求函数,在条件,下的极值步骤如下：,2.求拉格朗日函数的极值,先求解拉格朗日函数的偏导数构成的方程组：,再考察稳定
6、点是否是极值点,拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形.,设,解方程组,可得到条件极值的可疑点.,例如,求函数,下的极值.,在条件,例1.,要设计一个容量为 V 的长方体开口水箱,问,求 x,y,z,令,解方程组,解:设 x,y,z 分别表示长、宽、高,下水箱表面积,最小.,使在条件,水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？,得,若,于是,代入式得,不合题意.,若,代入式得,代入式得,代入式得,得唯一稳定点,由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省.,因此,当高为,例2.,抛物面,这个问题实质上就是求函数,解,被平面,求这个椭圆到原点的最长与最短距离.,截
7、成一个椭圆.,在条件,下的最大值、最小值问题.应用拉格朗日乘数法，,作拉格朗日函数,令 L 的一阶偏导数都等于零，则有,得,代入式后，再将代入,得,解得,这就是拉格朗日函数的稳定点，由于 f 在有界闭集,上连续，故所求问题存在最大值与最小值.,计算,得,所以该椭圆到原点的最长距离为,最短距离,得：,计算,内容小结,1.函数的极值问题,第一步 利用必要条件在定义域内找驻点.,即解方程组,第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点.,2.函数的条件极值问题,(1)简单问题用代入法,如对二元函数,(2)一般问题用拉格朗日乘数法,设拉格朗日函数,如求二元函数,下的极值,解方程组,第二步 判别,比较驻点及边界点上函数值的大小,根据问题的实际意义确定最值,第一步 找目标函数,确定定义域(及约束条件),3.函数的最值问题,在条件,求驻点.,练习题 求半径为R 的圆的内接三角形中面积最大者.,解:设内接三角形各边所对的圆心角为 x,y,z,则,它们所对应的三个三角形面积分别为,设拉氏函数,解方程组,得,故圆内接正三角形面积最大,最大面积为,
