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1、1,理论力学教程,河北工业大学工程力学系,2,第2章 平面汇交力系和 平面力偶系,本章内容:2.1 平面汇交力系合成与平衡的几何法2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法2.3 力矩与力偶2.4 平面力偶系的合成与平衡,3,第2章 平面汇交力系和平面力偶系,目的和要求:1.初步掌握几何法求解汇交力系合力与求解汇交力系 的平衡问题。2.能正确地将力沿坐标轴分解和求力在坐标轴上的 投影。3.对合力投影定理有清晰的理解。4.深入理解力偶和力偶矩的概念，明确平面力偶的 性质和平面力偶的等效条件。5.掌握平面汇交力系和平面力偶系的平衡条件及 平衡方程。6.能计算在平面汇交力系和平面力偶系作用下物体 的平衡
2、问题。,4,2.1 平面汇交力系合成与平衡的几何法,一、合成的几何法 力多边形法则,合成时,可以由力的平行四边形法则解，也可用力的三角形来解。,结论：,即：,结论：平面汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通过各力的汇交点。,5,二、平面汇交力系平衡的几何条件,在上面几何法求力系的合力中，合力为零意味着力多边形自行封闭。所以平面汇交力系平衡的必要与充分的几何条件是：,平面汇交力系平衡的几何条件是：,6,例 2-1,已知:F1=600N，F2=600N，F3=900N，方向如图所示。,解：,选吊钩为研究对象。取分离体画受力图。,求：用几何法求该力系的合力,1、任取一点a为起点，按比例依次
3、画出F1、F2和F3，三力首尾相接构成开口的力多边形。连接其封闭边ad，即可得到其合力FR，如图所示。2、量取合力FR的长度ad，通过比例尺或几何关系计算得FR=1065 N。3、用量角器量得合力FR与水平线间的夹角为80。,7,例 2-2,已知:平面直角刚架ABCD，在点 B 作用一水平力F=20 kN，刚架 自重不计。,解：选刚架为研究对象。取分离体画 受力图。,求：支座A、D处的约束力支座A、D处的约束力。,1、对刚架进行受力分析。由于主动力F水平向右，滑动铰支座D处的约束力FD铅垂向上，这两个力交于点C。根据三力平衡汇交定理，固定铰支座A处的约束力FA必沿A、C连线，构成一平面汇交力系
4、，如图所示。,8,2、选取适当比例尺，自a点起先作已知力F，从F末端b铅垂向上画FD，再根据角度j画出力FA，形成一自行封闭的力三角形abc。3、量出FD和FA的长度bc和 ca，用相同的比例尺换算得FD=10kN，FA=22.4kN，角度为26.5。,这类问题也可利用几何关系计算。因为力三角形abc与三角形ADC相似，故 其中AD=8m，DC=4m,m，因此亦可计算得,9,2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法,一、力在坐标轴上的投影,反之，当投影Fx、Fy 已知时，则可求出力 F 的大小和方向：,结论：力在某轴上的投影，等于力的模乘以力与该轴正向间夹角的余弦。,10,二、力在坐标轴上分解,
5、引入x、y轴单位矢i、j。则可写为：,设将力F 按坐标轴x、y方向分解为平面两个正交分量：Fx、Fy则,11,三、合力投影定理,由图可看出，各分力在x轴和在y轴投影的和分别为：,合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一 轴上投影的代数和。,12,例 2-3,已知:F1=600N，F2=600N，F3=900N，方向如图所示。,解：,选吊钩为研究对象。取分离体画受力图。,求：用解析法求该力系的合力。,1、在所示受力图中，建立平面直 角坐标系Axy。2、由合力投影定理得：求得：,13,合力的大小：方向余弦：作用点：,为该力系的汇交点,五、平面汇交力系的平衡条件与平衡方程,从前述可知：平
6、面汇交力系平衡的必要与充分条件是该力系 的合力为零。,即：,为平衡的充要条件，也称平衡方程,四、平面汇交力系合成与平衡的解析法,14,例 2-4,已知:简易起重设备如图所示。设起 吊重量G=40kN。,解：,选取滑轮B为研究对象画受力图。,求：平衡时杆AB和BC的内力。,1、滑轮上受有绳子拉力FT和重力G，且FT=G。由于不计滑轮尺寸，故可将其视为一个节点。杆AB和杆BC均为二力杆，杆AB和杆BC对节点B的约束力FBA、FBC的方向沿杆轴线，如图所示。这些力构成一平面汇交力系。,15,2、列平衡方程并求解。为简化计算，垂直于未知力FBA和FBC建立坐标系Bxy，由平衡方程：,注意到FT=G，从
7、上述两个方程可分别解出：,kN,kN,其中FBA的负值说明其实际方向与图示方向相反，即杆AB也受压力。,16,2.3 力矩与力偶,一.平面力对点的矩,移动效应-取决于力的大小、方向 转动效应-取决于力矩的大小、方向,力对物体可以产生,力矩作用面，O称为矩心，O到力的作用线的垂直距离d称为力臂,力对点之矩是一个代数量,它的绝对值等于力的大小与力臂的乘积,正负号规定：力使物体绕矩心逆时针转向时为正,反之为负.常用单位N m或kN m.,17,二.平面汇交力系的合力矩定理,定理：平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩，等于 所有各分力对同一点的矩的代数和 即：,由合力投影定理有：,证明：,od=ob+
8、oc,又,18,例 2-5,已知:力F的大小及其与铅垂线间的 夹角j及长度a、b、c。,解：,求：力F对点O的矩。,1、按力矩的定义求解 MO(F)=Fd=F(bsinj acosj+c cosj)=Fbsinj F(a c)cosj,2、用合力矩定理求解 MO(F)=MO(Fx)+MO(Fy)=Fbsinj F(a c)cosj,19,三.力偶与力偶矩,1、力偶：两力大小相等，作用线不重合的反向平行力叫力偶。记作(F,F),1、作用效果：引起物体的转动。2、力和力偶是静力学的二基本要素。,注意：力偶中的二个力，既不平衡，也不可能合成为一个力。力偶只能用力偶来代替（即只能和另一力偶等效），因而
9、也只能与力偶平衡。,20,2、力偶矩,力偶矩的两个要素,大小：力与力偶臂乘积,方向：转动方向,力偶矩,力偶中两力所在平面称为力偶作用面,力偶两力之间的垂直距离称为力偶臂,单位：牛顿米（Nm）,正负规定：使物体逆时针旋转的 趋势取正号；反之，取负号。,21,3、平面力偶的性质,性质1：力偶既没有合力，本身又不平衡，是一个基本力学量。,性质2：力偶对其所在平面内任一点的矩恒等于力偶矩，而与矩心的位置无关，因此力偶对刚体的效应用力偶矩度量。,证明：设在平面上A、B两点作用一 力偶，其矩M=Fd。在此平面 内任取一点O，其至力F的垂 直距离为x，则力偶(F,F)对 点O之矩为：,上式中并不含x，说明力
10、偶矩与矩心位置无关。,22,性质3（平面力偶等效定理）：作用在同一平面内的两个力偶，只要它的力偶矩的大小相等，转向相同，则该两个力偶彼此等效。,力偶的表示方法,23,2.4 平面力偶系的合成与平衡,平面力偶系:作用在物体同一平面的许多力偶叫平面力偶系,一、平面力偶系的合成,设有两个力偶,d,d,24,依此类推，若作用在同一平面内有n个力偶，则它们的合力偶矩为：,结论：平面力偶系合成结果还是一个力偶,其力偶矩为各力偶矩的代数和。,二、平面力偶系的平衡条件,平面力偶系平衡的充要条件是:所有各力偶矩的代数和等于零。,25,例 2-6,已知:支架的横杆CD上作用有两个力偶，已知其矩分别为 和，CB=0
11、.8m。,解：,选取横杆CD为研究对象,画受力图。,求：C处所受的约束力。,1、横杆CD上作用有矩为M1和M2的两个力偶。斜杆AB是二力杆，FB的作用线沿A、B两点的连线。由于力偶只能与力偶来平衡，所以约束力FC和FB必组成一个力偶。因此，FC与FB大小相等，平行反向。横杆CD的受力图如图所示，其中约束力FB和FC的指向是假定的。,26,2、作用在横杆CD上的三个力偶组成一平面力偶系。由平 衡方程 即解得 负号说明约束力的实际指向与假设的指向相反。,27,例 2-7,已知:三铰拱的AC部分上作用有力偶，其矩为M，两个半拱的直角边成正比，即a:b=c:a，不计三铰拱自重。,解：,选取半拱AC为研究对象为研究对象画受力图。,求：A、B处的约束力。,1、BC为二力构件，约束力FB和FC沿BC连线。AC上有一矩为M的主动力偶作用，由于力偶只能与力偶平衡，故A处的约束力FA必与FC构成一力偶，转向与M相反，其受力图如图所示。,28,2、由于a:b=c:a，可知FA和FC垂直于AC，力偶矩。由平衡方程 解得 由于BC为二力构件，有 方向如图所示。,29,The End!,
