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1、第五节 函数的极值 和最大值、最小值,定义,一、函数极值的定义,函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.,注：函数的极值是一个局部的定义，因此又可称为局部极值，相应的有局部极大值和局部极小值。,二、函数极值的求法,定理1(必要条件),例如,判别法则(第一充分条件)设函数 满足,(是极值点情形),那么,如何判定驻点是不是极值点,(1)在点x0的邻域内可导,求极值的步骤:,(不是极值点情形),解,列表讨论,极大值,极小值,例1,图形如下,练 习,解,列表讨论,极小值,不是极值,求函数,得驻点,用判别法则时，只需求函数的一阶导数，但需判断驻点两侧导数的符号，这比较麻烦这样就有了
2、判别法则，可以很方便的判断出是不是极值。,定理2(第二充分条件),注意:,解：,例2,极值与最值的关系：,最大值：f(b)，最小值：f(x3),观察：,三、函数的最大值、最小值,最大值：f(x4)，最小值：f(x3),极值与最值的关系：,观察：,设函数f(x)在闭区间a，b上连续，则函数的最大值和最小值一定存在函数的最大值和最小值有可能在区间的端点取得.如果最大值不在区间的端点取得，则必在开区间(a，b)内取得，在这种情况下，最大值一定是函数的极大值因此，函数在闭区间a，b上的最大值一定是函数的所有极大值和函数在区间端点的函数值中最大者同理，函数在闭区间a，b上的最小值一定是函数的所有极小值和
3、函数在区间端点的函数值中最小者,极值与最值的关系：,设f(x)在(a，b)内的驻点和不可导点(它们是可能的极值)为x1，x2，xn，则比较f(a)，f(x 1)，f(x 2)，f(x n)，f(b)的大小，其中最大的便是函数f(x)在a，b上的最大值，最小的便是函数f(x)在a，b上的最小值,求最大值和最小值的步骤：(1)求出f(x)在(a，b)内的所有驻点和不可导点；(2)求出函数在上述点处和区间端点处的函数值；(3)比较上述函数值，找出最大的和最小的,最大值和最小值的求法：,例3 求函数y2x33x212x14在3,4上的最大值与最小值,解 f(x)2x 33x 212x 14，f(x)6
4、x 26x126(x2)(x1)，解方程f(x)0，得 x12，x21，由于 f(3)2(3)33(3)212(3)1423；f(2)2(2)33(2)212(2)1434；f(1)2312147；f(4)24 334 2 12414142，比较可得f(x)在 x4取得它在3，4上的最大值f(4)142,在 x1取得它在3，4上的最小值f(1)7,比较得,如果f(x)在一个区间(有限或无限，开或闭)内可导且只有一个驻点x0，并且这个驻点x0是函数f(x)的极值点，那么，当f(x0)是极大值时，f(x0)就是f(x)在该区间上的最大值；当f(x0)是极小值时，f(x0)就是f(x)在该区间上的最
5、小值,特殊情况下的最大值与最小值：,应当指出，实际问题中，往往根据问题的性质就可以断定函数f(x)确有最大值或最小值，而且一定在定义区间内部取得这时如果f(x)在定义区间内部只有一个驻点x0，那么不必讨论f(x0)是否是极值，就可以断定 f(x0)是最大值或最小值,如果f(x)在一个区间(有限或无限，开或闭)内可导且只有一个驻点x0，并且这个驻点x0是函数f(x)的极值点，那么，当f(x0)是极大值时，f(x0)就是f(x)在该区间上的最大值；当f(x0)是极小值时，f(x0)就是f(x)在该区间上的最小值,特殊情况下的最大值与最小值：,实际问题求最值应注意:,(1)建立目标函数;,(2)求最
6、值;,运输模型是管理运筹学中重要的组成部分。下例是运输模型中的最简单的一个产地一个销地问题。,例 铁路线上AB段的距离为100km。工厂C距A处 为20km，AC垂直于AB。为了运输需要，要 在AB线上选定一点D向工厂修筑一条公路。已知铁路上每吨货运的运费与公路上每吨 货运的运费之比为3：5，为了使货物从供 应战B运到工厂C的运费最省，问D应选在 何处？,解 设ADx(km)，则 DB100 x，,设从B点到C点需要的总运费为y，那么y5kCD3kDB(k是某个正数)，,即,先求y对x的导数：,，,解方程y0，得x15(km),其中以y|x15380k为最小，因此当ADx15km时，总运费为最
7、省,解 设ADx(km)，则 DB100 x，,设从B点到C点需要的总运费为y，那么y5kCD3kDB(k是某个正数)，,即,极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.,驻点和不可导点统称为临界点.,函数的极值必在临界点取得.,判别法,第一充分条件;,第二充分条件;,(注意使用条件),四、小结,思考题,思考题解答,结论不成立.,因为最值点不一定是内点.,例,在 有最小值，但,例2,f(x),f(x),(1)f(x)6x(x 21)2,(2)令f(x)0，求得驻点x 11，x 20，x 31,(3)列表判断：,(-，-1),-1,(-1，0),0,(0，1),1,(1，
8、+),-,0,-,0,+,+,0,0,无极值,无极值,极小值,f(x)在x0处取得极小值，极小值为 f(0)0,解法一,求函数 f(x)(x21)31的极值,解法二,(2)令f(x)0，求得驻点x 11，x 20，x 31(3)f(x)6(x 21)(5x 21)(4)因f(0)60，所以x0为极小值点，极小值为 f(0)0(5)因f(1)f(1)0，用定理 2 无法判别,求函数f(x)(x 21)31的极值,解法二,(1)f(x)6x(x 21)2,同理，f(x)在1处也没有极值,因为在1的左右邻域内f(x)0，,所以f(x)在1处没有极值；,BACK,解,注意:函数的不可导点,也可能是函数
9、的极值点.,极大值,下列命题正确吗？,思考题解答,不正确,例,在1和1之间振荡,故命题不成立,函数图形的描绘,函数图形的描绘,如果函数 f(x)的定义域上的某个小区间中,（1）单调性已知；,（2）凹凸性已知；,（3）曲线的发展或变化趋势已知；,那么可以很容易地画出函数在这个区间内的图形,函数图形的描绘综合运用函数性态的研究,是导数应用的综合考察.,最大值,最小值,极大值,极小值,拐点,凹的,凸的,单增,单减,一、渐近线（曲线的发展趋势）,定义:,1.水平渐近线,例如,有水平渐近线两条:,2.铅直渐近线,垂直于x轴的渐近线,例如,有铅直渐近线两条:,解,练 习,的水平渐近线,铅直渐近线,斜渐近线
10、,若,3.斜渐近线,注意:,例1,解,二、图形描绘的步骤,利用函数特性描绘函数图形.,第一步,第二步,第三步,第四步,确定函数图形的水平、铅直渐近线以及其他变化趋势;,第五步,注意:,例1,解,无奇偶性及周期性.,列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点:,三、作图举例,拐点,极大值,极小值,凸,凹,凹,凸,例2.描绘函数,的图形.,解:1)定义域为,图形对称于 y 轴.（偶函数）,2)求关键点,3)判别曲线形态,(极大),(拐点),为水平渐近线,5)作图,4)求渐近线,列表,曲线过点(0,0),1,2,(1,2),0,0,+,x,y,y,+,驻点：x=1,x=2,极大值,(拐点),故 y=0为水平渐近线,因,例3.,图形：,1,渐进线：y=0,(0,0),2,.,.,(x+),列表,练习,.,对函数进行全面讨论并画图：,解,所以，曲线有渐近线 y=0，,因,+,+,+,+,0,因 y(x)=y(x)，,图形关于原点对称。,1,0,1,0(拐点),间断点,间断点,+,及 x=1，x=1,x=0,1,1,.,列表,.,.,对函数进行全面讨论并画图：,解,所以，曲线有渐近线 x=0,0(拐点),+,+,因,（牛顿三叉戟线）,0,0,+,+,3极小值,+,0,.,间断点,3,牛顿三叉戟线,.,
