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1、2023/7/5,第五章 不定积分,5.1不定积分的概念和性质 5.2基本积分表 5.3基本积分法 5.4有理函数及三角函数有理式的积分,（约8学时）,2023/7/5,问题:求导运算是否有逆运算?它的逆运算是什么？讨论其逆运算的意义何在？,2、已知曲线，求它的切线的斜率。,如果我们讨论的是反问题，已知物体运动的瞬时速度，即速度函数，求物体的运动规律，即路程函数；,已知曲线在每一点的切线的斜率，求此曲线。,我们知道导数概念是一个非常重要的概念。它不仅仅是一种形式运算，在实际应用中是很有用的。,例如:1、已知物体的运动规律，即路程函数，求物体的瞬时速度;,我们把求导的逆运算称为不定积分。,202
2、3/7/5,微分学,积分学,-两个相反的问题,2023/7/5,一、原函数（反导数）的定义,定义1 设 定义在区间I上,若存在函数,有,5.1 不定积分的概念和性质,则称 是已知函数 在该区间I上的一个原函数（反导数）。,例 设(x)=cos x,则F(x)=sinx,sinx1,sinx+C.,1.原函数存在的条件?,2.原函数的个数?,3.不同的原函数之间的关系?,问题:,2023/7/5,定理1 若函数(x)在区间I上连续,则(x)在区间I上的原函数一定存在.,(证明略),定理2 设F(x)是函数(x)在区间I上的一个原函数,则对任何常数C,F(x)+C也是函数(x)的原函数。,证 因,
3、证,由拉格朗日中值定理得推论知,定理3 设F(x)和G(x)都是函数(x)的原函数,则 F(x)G(x)C(常数),2023/7/5,注:当C为任意常数时,F(x)是(x)的一个原函数,则表达式 F(x)+C 可表示(x)的任意一个原函数,即：(x)的全体原函数所组成的集合，就是函数族:,2023/7/5,结论:若F(x)是函数(x)的一个原函数,则,其中 称为积分号,(x)称为被积函数,x称为积分变量,(x)d x 称为被积表达式。,“”亦由莱布尼兹所创，它是德语中“总和”Summe的第一个字母s的伸长。,定义2 函数(x)的全体原函数称为(x)的不定积分。,二、不定积分的定义,C为任意常数
4、,并称C为积分常数。,记为,2023/7/5,例1 求下列不定积分,2023/7/5,例2 已知 的一个原函数是,求常数k.,（1）求不定积分就是被积函数的一个原函数.,（2）不定积分是全体原函数的一般表达式.最后结果中不要忘记积分常数C.,（3）求不定积分的方法称为积分法.,说明：,2023/7/5,例3,F(x)是f(x)的一个原函数，满足,证 由 知,(a,b为常数且a0).,2023/7/5,y=F(x)函数(x)的一个原函数,称 y=F(x)的图形是(x)的一条积分曲线;,而 是(x)的原函数一般表达式,所以它对应的图形是一族积分曲线称它为积分曲线族,其特点是:,(1)积分曲线族中任
5、意一条曲线可由其中某一条(如y=F(x)沿y轴平行移动|c|个单位而得到.,(如图)当c0时,向上移动;当c0时,向下移动.,o,x,y,x,y=F(x),|c|,三、不定积分的几何意义,2023/7/5,o,x,y,x,y=F(x),(2),即横坐标相同点处,每条积分曲线上相应点的切线斜率相等,都为(x).,从而相应点的切线相互平行.,注:当需要从积分曲线族中求出过点 的一条积分曲线时,则只须把 代入y=F(x)+C中解出C即可.,2023/7/5,例4 已知一条曲线在任意一点的切线斜率等于该点横坐标的倒数,且过点 求此曲线方程。,解 设所求曲线为 y=(x),则,故所求曲线为 y=ln|x|+2,2023/7/5,性质1,四、不定积分的性质,证明：,注:微分运算与积分运算是互逆的.,证明：,乘积关系,2023/7/5,即,性质3的推广,性质2,性质3,证,是(x)g(x)的原函数.,2023/7/5,例5 已知,求函数(x).,解,
