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1、数 值 分 析Computational Method,Chapter 7非线性方程求根,第7章 非线性方程求根71 方程求根与二分法,1.引言设 若有 使 则称 是方程 的根或 的零点。若，当 时,称 为方程 的单根，当 时,称 为方程 的m重根或 的m重零点。,定理 若 有m阶导数，则 是 的 m重根的充分必要条件是，。,证明:依据泰勒中值定理知.,泰勒公式：,2.二分法,零点定理 若 又 则。依据零点定理对区间 逐次分半进行根的搜索，这就是二分法。,，,；,具体作法如下：,设,，,令,，,（1）若,，则,是根；,（2）若,，令,；,（3）若,，令,。,对,再二分且同样的讨论，得,和一半的
2、区间,将此过程继续下去，得,则,。,定理 设 又 则由 二分法得到的 收敛于根，且有根的 近似值 误差估计式：。,72 迭代法及收敛性1.不动点迭代法的概念,将 改写成等价形式。若有 使,则将 称为 的不动点。求 的根,也就是找 的不动点。设选择（初始近似值）并构造（2.2）计算公式（2.2）称为迭代格式,称为迭 代函数,得到的 称为迭代序列,用公式（2.2）逐步代入求近似解的方法称为迭代法(或 不动点迭代法)。,若,则称迭代收敛,否则,就称迭代 发散。若,迭代都收敛，则称迭 代全局收敛。,压缩映象原理 设 若(1)当 时，有，(2)使 有 则 使。,证明,压缩映象原理证明,证存在性。令,（1
3、）,，则,（2）,，则,（3）,，据零点定理，,，使,。,；,；,证唯一性。若另有,是不动点，,这与,矛盾。证毕,2.全局收敛,全局收敛性定理 设 若 时，有;，使 有 迭代公式 则,迭代法收敛，且有以下估计式,（1）,（2）,（3）,证明,，,证（1）,又由于,是固定数，而,，所以，,，迭代收敛。,证（2）,所以，,注：全局收敛性定理中条件(2)换成,，定理结论仍成立。,证（3）因而,证毕,据拉格朗日定理，,3局部收敛和p阶收敛,定义 若 是 的不动点，,使,由迭代公式 产生的序列，有，则称迭代局部收敛。,定义 若,局部收敛性定理 是 的不动点，在 连续，迭代公式，则(1)当 时，迭代局部收
4、敛；(2)当 时，迭代发散。,证明 由于,存在，故,当,时，,存在，,连续。且由,极限的保号性，当,时,，,使,；当,时，有,。,满足(2);当,时，,满足（1）；据全局收敛定理,在,上收敛。,当,时，,所以，,，,，迭代不收敛。,证毕,定义 设，若，则称迭代过程是p阶收敛。特别地，p=1称为线性收敛，p1称为超线性收敛，p=2称为平方收敛。,定理 若,则迭代过程是p阶收敛。,证明,证毕,例 设方程，根,将 方程改写成下列等价形式：（1）；（2）；（3）。试建立相应的迭代格式，并分析它们的收敛性，然后选取一个格式作为计算公式。,解（1）,，,；,，,；,，,。,（2）,（3）,，,，,收敛；,
5、，,，不收敛；,，,，收敛。,因为，,，取,作为计算公式。,解毕,74 牛顿法（切线法）,其牛顿迭代函数 由 解出 得。,例 设用牛顿迭代法求方程,内的根，,在,取,，要求,。,解,，,，,因为,所以,解毕,1牛顿迭代法及其收敛性,例 设,写出用牛顿法求 的迭代计算公式，并分析收敛性。,解,令,，,取,所以，,单减有下界，,存在，于是，对本题计算公,式取极限，,有,，说明，本题计算公式在,上全局收敛。,解毕,牛顿迭代函数设 是 的单根，即,。,故，牛顿法在 邻近至少是2阶收敛的。,。,2简化牛顿法,特别 即牛顿法。,75 弦截法与抛物线法3弦截法,取 是1步迭代法，1阶收敛,4快速弦截法,取
6、是2步迭代法，1618阶收敛,5抛物线法（密勒法）,若用三点,连接成抛物线取与 轴上靠近 的交点当作 的近似值。该法称作抛物线法或密勒法.计算公式为,是3步迭代法，1840阶收敛.,证明,二次牛顿插值,其中,令,解出,号取与,符号相同，即,6牛顿下山法（全局收敛）,的解,，则,若视,为,在,处的高度，则,是山谷的最低点，,若,有,，则,是一个下山序列,若,，且,，,，,取,，,，例取,7重根情形,复习定理 若 有k阶导数，则 是 的k重根的充分必要条件是，。,牛顿迭代函数,，,，收敛。,，,所以，收敛是1阶收敛。,(1)已知重数k,修改牛顿迭代函数,，收敛是2阶收敛。,2.重数k未知,设,迭代
7、函数,，则,是,的单零点.,收敛是2阶收敛。,73 迭代收敛的加速方法1.埃特金加速法,设,是1阶收敛,，且有,相除得：,即：,解出：,埃特金加速法,2.斯蒂芬森迭代法,斯蒂芬森迭代,由于,，,新迭代函数,76 非线性方程组的解法,非线性方程组,两种解法:不动点迭代法(简单迭代法)牛顿迭代法,1不动点迭代法（简单迭代法）,改写成等价形式,简单迭代法：压缩映象原理和收敛性定理也成立。,2.牛顿迭代法,雅可比矩阵,牛顿迭代法,例 写出解以下非线性方程组的迭代格式,解,简单迭代法：,取,迭代至28步后，得解的近似值为,，,牛顿迭代法：,其中：,取,仅迭代了4步，得解的近似值为,，,解毕,例 求解以下非线性方程组(仅迭代2步).,解,，,，,所以，得方程组解的近似值为,，,解毕,
