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1、,二、函数的间断点,一、函数连续性的定义,第八节,函数的连续性与间断点,第一章,可见,函数,在点,一、函数连续性的定义,定义:,在,的某邻域内有定义,则称函数,(1),在点,即,(2)极限,(3),设函数,连续必须具备下列条件:,存在;,且,有定义,存在;,continue,若,在某区间上每一点都连续,则称它在该区间上,连续,或称它为该区间上的连续函数.,例如,在,上连续.,(有理整函数),又如,有理分式函数,在其定义域内连续.,在闭区间,上的连续函数的集合记作,只要,都有,对自变量的增量,有函数的增量,左连续,右连续,当,时,有,函数,在点,连续有下列等价命题:,例.证明函数,在,内连续.,
2、证:,即,这说明,在,内连续.,同样可证:函数,在,内连续.,在,在,二、函数的间断点,(1)函数,(2)函数,不存在;,(3)函数,存在,但,不连续:,设,在点,的某去心邻域内有定义,则下列情形,这样的点,之一,函数 f(x)在点,虽有定义,但,虽有定义,且,称为间断点.,在,无定义;,间断点分类:,第一类间断点:,及,均存在,若,称,若,称,第二类间断点:,及,中至少一个不存在,称,若其中有一个为振荡,称,若其中有一个为,为可去间断点.,为跳跃间断点.,为无穷间断点.,为振荡间断点.,为其无穷间断点.,为其振荡间断点.,为可去间断点.,例如:,显然,为其可去间断点.,(4),(5),为其跳
3、跃间断点.,P65 题*8 提示:,作业 P65 4;5,一、连续函数的运算法则,第九节,二、初等函数的连续性,连续函数的运算与,初等函数的连续性,第一章,定理2.连续单调递增函数的反函数也连续单调递增.,在其定义域内连续,一、连续函数的运算法则,定理1.在某点连续的有限个函数经有限次和,差,积,(利用极限的四则运算法则证明),商(分母不为 0)运算,结果仍是一个在该点连续的函数.,例如,例如,在,上连续单调递增，,其反函数,(递减),(证明略),在1,1上也连续单调,(递减),递增.,定理3.连续函数的复合函数是连续的.,分析:设函数,于是,故复合函数,且,即,例如,是由连续函数链,因此,在
4、,上连续.,复合而成,例1.,设,均在,上连续,证明函数,也在,上连续.,证:,根据连续函数运算法则,可知,也在,上,连续.,二、初等函数的连续性,基本初等函数在定义区间内连续,连续函数经四则运算仍连续,连续函数的复合函数连续,一切初等函数在定义区间内连续,例如,的连续区间为,(端点为单侧连续),的连续区间为,的定义域为,因此它无连续点,而,例2.求,解:,原式,例3.求,解:令,则,原式,说明:由此可见当,时,有,例4.求,解:,原式,说明:若,则有,练习.设,解:,讨论复合函数,的连续性.,故此时连续;,而,故,x=1为第一类间断点.,在点 x=1 不连续,第十节,一、最值定理,二、介值定
5、理,*三、一致连续性,闭区间上连续函数的性质,第一章,注意:若函数在开区间上连续,结论不一定成立.,一、最值定理,定理1.在闭区间上连续的函数,即:设,则,使,值和最小值.,或在闭区间内有间断,在该区间上一定有最大,(证明略),点,例如,无最大值和最小值,也无最大值和最小值,又如,二、介值定理,由定理 1 可知有,证:设,上有界.,定理2.(零点定理),至少有一点,且,使,(证明略),推论 在闭区间上连续的函数在该区间上有界.,定理3.(介值定理),设,且,则对 A 与 B 之间的任一数 C,一点,证:作辅助函数,则,且,故由零点定理知,至少有一点,使,即,推论:在闭区间上的连续函数,使,至少
6、有,必取得介于最小值与,最大值之间的任何值.,例.证明方程,一个根.,证:显然,又,故据零点定理,至少存在一点,使,即,说明:,内必有方程的根;,取,的中点,内必有方程的根;,可用此法求近似根.,二分法,在区间,内至少有,则,则,*三.一致连续性,已知函数,在区间 I 上连续,即:,一般情形,就引出,了一致连续的概念.,定义:,对任意的,都有,在 I 上一致连续.,显然:,例如,但不一致连续.,（证明在最后一页）,定理4.,上一致连续.,思考:P74 题*7,提示:,设,存在,作辅助函数,显然,内容小结1,左连续,右连续,第一类间断点,可去间断点,跳跃间断点,左右极限都存在,第二类间断点,无穷
7、间断点,振荡间断点,左右极限至少有一个不存在,在点,间断的类型,内容小结2.,基本初等函数在定义区间内连续,连续函数的四则运算结果仍连续,连续函数的反函数连续,连续函数的复合函数连续,初等函数在定义区间内连续,说明:分段函数在界点处是否连续需讨论其 左、右连续性.,内容小结 3.,在,上达到最大值与最小值;,上可取最大与最小值之间的任何值;,4.当,时,使,必存在,上有界;,在,在,练习,1.讨论函数,x=2 是第二类无穷间断点.,间断点的类型.,2.设,时,提示:,3.P65 题 3,为,连续函数.,答案:x=1 是第一类可去间断点,4.,续?,反例,处处间断,处处连续.,反之是否成立?,作
8、业P69 3(5),(6),(7);4(4)，(6);6,提示:,“反之”不成立.,1.任给一张面积为 A 的纸片(如图),证明必可将它,思考,一刀剪为面积相等的两片.,提示:,建立坐标系如图.,则面积函数,因,故由介值定理可知:,则,证明至少存在,使,提示:令,则,易证,2.设,一点,3.确定函数,间断点的类型.,解:间断点,为无穷间断点;,故,为跳跃间断点.,例如,但不一致连续.,因为,取点,则,可以任意小,但,这说明,在(0,1 上不一致连续.,思考:P74 题*7,提示:,设,存在,作辅助函数,显然,二、连续与间断,一、函数,三、极限,习题课,函数与极限,第一章,思考与练习,1.下列各组函数是否相同?为什么?,相同,相同,相同,2.已知,求,解:,3.设,求,解:,4.设函数,在 x=0 连续,则 a=,b=.,提示:,有无穷间断点,及可去间断点,解:,为无穷间断点,所以,为可去间断点,极限存在,5.设函数,试确定常数 a 及 b.,6.无穷小,常用等价无穷小:,两个重要极限,或,6.求极限：,提示:,7.确定常数 a,b,使,解:原式可变形为,故,于是,而,8.求,的间断点,并判别其类型.,解:,x=1 为第一类可去间断点,x=1 为第二类无穷间断点,x=0 为第一类跳跃间断点,作业 P75 9(2),(3),(6);10;13,9.求,解:令,则,利用夹逼准则可知,
