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1、,二、函数的间断点,一、函数连续性的概念,第八节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,函数的连续性,第一章,三、初等函数的连续性,增量:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、函数连续性的概念,对自变量的增量,有函数的增量,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在,的某邻域内有定义,设函数,定义:,在,的某邻域内有定义,设函数,若,则称函数,可见,函数,在点,定义:,在,的某邻域内有定义,则称函数,(1),在点,即,(2)极限,(3),设函数,连续必须具备下列条件:,存在;,且,有定义,存在;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,左连续,右连续,函数,在点,连续有下列等价命题:,机动 目录 上
2、页 下页 返回 结束,continue,若,在某区间上每一点都连续,则称它在该区间上,连续,或称它为该区间上的连续函数.,例如,在,上连续.,(有理整函数),又如,有理分式函数,在其定义域内连续.,只要,都有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.,基本初等函数在定义域内每点处均连续;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,即基本初等函数在定义域内是连续的.,例1,证,由定义知,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2,解,右连续但不左连续,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3,既是左连续又是右连续,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考：,解：,注:
3、有极限是连续的必要而非充分条件.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在,在,二、函数的间断点,(1)函数,(2)函数,不存在;,(3)函数,存在,但,不连续:,设,在点,的某去心邻域内有定义,则下列情形,这样的点,之一函数 f(x)在点,虽有定义,但,虽有定义,且,称为间断点.,在,无定义;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,为其无穷间断点.,为其振荡间断点.,为可去间断点.,例如:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,显然,为其可去间断点.,(4),(5),为其跳跃间断点.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,间断点分类:,第一类间断点:,及,均存在,若,称,若,称,第二类间断点:,及,
4、中至少一个不存在,称,若其中有一个为振荡,称,若其中有一个为,为可去间断点.,为跳跃间断点.,为无穷间断点.,为振荡间断点.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,函数 y=tanx,在 x=k+/2(k=0,1,2,)处间断.且都是第二类间断点.,注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4 设函数,指出间断点及类型.,解 该函数的间断点为,故,为函数的第一类间断点.,由于,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在其定义域内连续,1、连续函数的运算法则,定理1.在某点连续的有限个函数经有限次和,差,积,(利用极限的四则运算法则证明),商(分母不为 0)运
5、算,结果仍是一个在该点连续的函数.,例如,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、初等函数的连续性,在,上连续 单调 递增,其反函数,在,上也连续单调递增.,又如,第十节 目录 上页 下页 返回 结束,定理2.连续单调递增 函数的反函数,例如,在,上连续单调递增，,其反函数,(递减).,(证明略),在 1,1 上也连续单调递增.,递增,(递减),也连续单调,定理3.连续函数的复合函数是连续的.,设函数,于是,复合函数,且,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例如,是由连续函数链,因此,在,上连续.,复合而成,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、初等函数的连续性,基本初等函数在定义域内连
6、续,连续函数经四则运算仍连续,连续函数的复合函数连续,一切初等函数在定义区间内连续,例如,的连续区间为,(端点为单侧连续),的定义域为,因此它无连续点,而,机动 目录 上页 下页 返回 结束,（在孤立点的邻域内没有定义）,包含在定义域内的区间,注:初等函数在孤立点处谈不到连续性.,例6,解,注意:初等函数求极限的方法代入法.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,左连续,右连续,第一类间断点,可去间断点,跳跃间断点,左右极限都存在,第二类间断点,无穷间断点,振荡间断点,左右极限至少有一个不存在,在点,间断的类型,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,基本初等函数在定义域内连续,连续函数的四则运算的结果连续,连续函数的反函数连续,连续函数的复合函数连续,初等函数在定义区间内连续,说明:分段函数在界点处是否连续需讨论,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业 P72 1-6,思考与练习,1.讨论函数,x=2 是第二类无穷间断点.,间断点的类型.,2.设,时,提示:,为,连续函数.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,答案:x=1 是第一类可去间断点,例5,解 间断点为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
