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1、,一、函数连续性的定义,第四节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,函数的连续性,第一章,1,可见,函数,在点,一、函数连续性的定义,定义:,在,的某邻域内有定义,则称函数,(1),在点,即,(2)极限,(3),设函数,连续必须具备下列条件:,存在;,且,有定义,存在;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2,continue,若,在某区间上每一点都连续,则称它在该区间上,连续,或称它为该区间上的连续函数.,例如,在,上连续.,(有理整函数),又如,有理分式函数,在其定义域内连续.,在闭区间,上的连续函数的集合记作,只要,都有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3,对自变量的增量,有函数的增
2、量,左连续,右连续,当,时,有,函数,在点,连续有下列等价命题:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,4,例1.证明函数,在,内连续.,证:,即,这说明,在,内连续.,同样可证:函数,在,内连续.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,5,在,在,二、函数的间断点,(1)函数,(2)函数,不存在;,(3)函数,存在,但,不连续:,设,在点,的某去心邻域内有定义,则下列情形,这样的点,之一函数 f(x)在点,虽有定义,但,虽有定义,且,称为间断点.,在,无定义;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,6,间断点分类:,第一类间断点:,及,均存在,若,称,若,称,第二类间断点:,及,中至少一个不存在,
3、称,若其中有一个为振荡,称,若其中有一个为,为可去间断点.,为跳跃间断点.,为无穷间断点.,为振荡间断点.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,7,为其无穷间断点.,为其振荡间断点.,为可去间断点.,例如:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,8,显然,为其可去间断点.,(4),(5),为其跳跃间断点.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,9,注意：,左连续,右连续,第一类间断点,可去间断点,跳跃间断点,左右极限都存在,第二类间断点,无穷间断点,振荡间断点,左右极限至少有一个不存在,在点,间断的类型,机动 目录 上页 下页 返回 结束,10,定理2.连续单调递增 函数的反函数,在其定义域内连续
4、,三、连续函数的运算法则,定理1.在某点连续的有限个函数经有限次和,差,积,(利用极限的四则运算法则证明),商(分母不为 0)运算,结果仍是一个在该点连续的函数.,例如,例如,在,上连续单调递增，,其反函数,(递减).,(证明略),在 1,1 上也连续单调递增.,递增,(递减),也连续单调,机动 目录 上页 下页 返回 结束,11,定理3.连续函数的复合函数是连续的.,在,上连续 单调 递增,其反函数,在,上也连续单调递增.,证:设函数,于是,故复合函数,又如,且,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,12,四、初等函数的连续性,基本初等函数在定义区间内连续,连续函数经四则运算仍连续,连续函
5、数的复合函数连续,一切初等函数在定义区间内连续,例如,的连续区间为,(端点为单侧连续),的连续区间为,的定义域为,因此它无连续点,而,机动 目录 上页 下页 返回 结束,13,例2.求,解:,原式,例3.求,解:令,则,原式,说明:当,时,有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,14,例4.求,解:,原式,说明:若,则有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,15,例5.设,解:,讨论复合函数,的连续性.,故此时连续;,而,故,x=1为第一类间断点.,在点 x=1 不连续,机动 目录 上页 下页 返回 结束,16,第四节,（一）、最值定理,（二）、介值定理,机动 目录 上页 下页 返回 结束,五
6、、闭区间上连续函数的性质,第一章,17,注意:若函数在开区间上连续,结论不一定成立.,(一)、最值定理,定理4.在闭区间上连续的函数,即:设,则,使,值和最小值.,或在闭区间内有间断,在该区间上一定有最大,(证明略),点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,18,例如,无最大值和最小值,也无最大值和最小值,又如,机动 目录 上页 下页 返回 结束,19,推论.,由定理 1 可知有,证:设,上有界.,(二)、介值定理,定理5.(零点定理),至少有一点,且,使,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(证明略),在闭区间上连续的函数在该区间上有界.,20,定理6.(介值定理),设,且,则对 A 与 B
7、 之间的任一数 C,一点,证:作辅助函数,则,且,故由零点定理知,至少有一点,使,即,推论:,使,至少有,在闭区间上的连续函数,必取得介于最小值与最,大值之间的任何值.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,21,例6.证明方程,一个根.,证:显然,又,故据零点定理,至少存在一点,使,即,说明:,内必有方程的根;,取,的中点,内必有方程的根;,可用此法求近似根.,二分法,在区间,内至少有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则,则,22,内容小结一,基本初等函数在定义区间内连续,连续函数的四则运算的结果连续,连续函数的反函数连续,连续函数的复合函数连续,初等函数在定义区间内连续,说明:分段函数在
8、界点处是否连续需讨论其 左、右连续性.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,23,内容小结二,在,上达到最大值与最小值;,上可取最大与最小值之间的任何值;,4.当,时,使,必存在,上有界;,在,在,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业：P26 16,17,24,小结三：,1.函数在一点连续必须满足的三个条件;,3.间断点的分类与判别;,2.区间上的连续函数;,第一类间断点:可去型,跳跃型.,第二类间断点:无穷型,振荡型.,间断点,(见下图),27,可去型,第一类间断点,跳跃型,无穷型,振荡型,第二类间断点,26,备用题1.确定函数,间断点的类型.,解:间断点,为无穷间断点;,故,为跳跃间断
9、点.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,27,备用题2.求,则有,解1:令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,28,备用题2.求,解2:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,29,备用题3.求,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,30,备用题4.设,分析：对带有极限符号的函数，先去掉极限符号,为连续函数，试确定a及b。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,31,解：当,时,当|x|1时，,当x=1时，,当x=-1时，,即：,因为函数 连续，故极限存在，即a+b=1。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,32,又,由连续性知：a-b=-1,（1）,（2）,连续性（若有间断点，则需指出间断点的类型）。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,33,时，,故有：,解：当,练习1：设,当x0时，,则x=0是f(x)的第二类间断点，而f(x)的连续区间为,1.有无穷间断点x=0;2.可去间断点x=1。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,34,时，,解：因为,练习2：确定a、b使,无穷间断点。,即e=b。这时,要使f(x）有可去间断点x=1,需求极限,故应要求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,35,故当,时，f(x)有可去间断点。,作业：P24 15.（4）（6）（10）（12）,
