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1、,第七节,一、三角级数及三角函数系的正交性,二、函数展开成傅里叶级数,三、正弦级数和余弦级数,第十二章,傅里叶级数,一、三角级数及三角函数系的正交性,简单的周期运动:,(谐波函数),(A为振幅,复杂的周期运动:,令,得函数项级数,为角频率,为初相),(谐波迭加),称上述形式的级数为三角级数.,定理 1.组成三角级数的函数系,证:,同理可证:,正交,上的积分等于 0.,即其中任意两个不同的函数之积在,上的积分不等于 0.,且有,但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在,二、函数展开成傅里叶级数,定理 2.设 f(x)是周期为 2 的周期函数,且,右端级数可逐项积分,则有,证:由定理条件,对在,逐
2、项积分,得,(利用正交性),类似地,用 sin k x 乘 式两边,再逐项积分可得,叶系数为系数的三角级数 称为,的傅里叶系数;,由公式 确定的,以,的傅里,的傅里叶级数.,称为函数,简介,定理3(收敛定理,展开定理),设 f(x)是周期为2 的,周期函数,并满足狄利克雷(Dirichlet)条件:,1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;,2)在一个周期内只有有限个极值点,则 f(x)的傅里叶级数收敛,且有,x 为间断点,其中,(证明略),为 f(x)的傅里叶系数.,x 为连续点,注意:函数展成傅里叶级数的条件比展成幂级数的条件低得多.,简介,例1.设 f(x)是周期为 2 的周期函数
3、,它在,上的表达式为,解:先求傅里叶系数,将 f(x)展成傅里叶级数.,1)根据收敛定理可知,时,级数收敛于,2)傅氏级数的部分和逼近,说明:,f(x)的情况见右图.,例2.设 f(x)是周期为 2 的周期函数,上的表达式为,将 f(x)展成傅里叶级数.,解:,它在,说明:当,时,级数收敛于,周期延拓,傅里叶展开,上的傅里叶级数,定义在,上的函数 f(x)的傅氏级数展开法,其它,例3.将函数,则,解:将 f(x)延拓成以,展成傅里叶级数.,2为周期的函数 F(x),当 x=0 时,f(0)=0,得,说明:利用此展式可求出几个特殊的级数的和.,设,已知,又,三、正弦级数和余弦级数,1.周期为2
4、的奇、偶函数的傅里叶级数,定理4.对周期为 2 的奇函数 f(x),其傅里叶级数为,周期为2的偶函数 f(x),其傅里叶级数为余弦级数,它的傅里叶系数为,正弦级数,它的傅里叶系数为,例4.设,的表达式为 f(x)x,将 f(x)展成傅里叶级数.,f(x)是周期为2 的周期函数,它在,解:若不计,周期为 2 的奇函数,因此,n1,根据收敛定理可得 f(x)的正弦级数:,级数的部分和,逼近 f(x)的情况见右图.,n2,n3,n4,n5,例5.将周期函数,展成傅里叶级数,其中,E 为正常数.,解:,是周期为2 的,周期偶函数,因此,为便于计算,将周期取为2,2.定义在0,上的函数展成正弦级数与余弦
5、级数,周期延拓 F(x),f(x)在 0,上展成,周期延拓 F(x),余弦级数,奇延拓,偶延拓,正弦级数,f(x)在 0,上展成,例6.将函数,分别展成正弦级,数与余弦级数.,解:先求正弦级数.,去掉端点,将 f(x)作奇周期延拓,注意:,在端点 x=0,级数的和为0,与给定函数,因此得,f(x)=x+1 的值不同.,再求余弦级数.,将,则有,作偶周期延拓,说明:令 x=0 可得,即,内容小结,1.周期为 2 的函数的傅里叶级数及收敛定理,其中,注意:若,为间断点,则级数收敛于,2.周期为 2 的奇、偶函数的傅里叶级数,奇函数,正弦级数,偶函数,余弦级数,3.在 0,上函数的傅里叶展开法,作奇
6、周期延拓,展开为正弦级数,作偶周期延拓,展开为余弦级数,1.在 0,上的函数的傅里叶展开法唯一吗?,答:不唯一,延拓方式不同级数就不同.,思考与练习,处收敛于,2.,则它的傅里叶级数在,在,处收敛于.,提示:,设周期函数在一个周期内的表达式为,3.设,又设,求当,的表达式.,解:由题设可知应对,作奇延拓:,由周期性:,为周期的正弦级数展开式的和函数,在,4.写出函数,傅氏级数的和函数.,答案:,定理3,P313 1(1),(3);2(1),(2);5;6;7(2),第八节,作业,备用题 1.,叶级数展式为,则其中系数,提示:,利用“偶倍奇零”,(1993 考研),的傅里,2.设,是以 2 为周
7、期的函数,其傅氏系数为,则,的傅氏系数,提示:,令,类似可得,傅里叶(1768 1830),法国数学家.,他的著作热的解析,理论(1822)是数学史上一部经典性,书中系统的运用了三角级数和,三角积分,他的学生将它们命名为傅,里叶级数和傅里叶积分.,最卓越的工具.,以后以傅里叶著作为基础发展起来的,文献,他深信数学是解决实际问题,傅里叶分析对近代数学以及物理和工程技术的发展,都产生了深远的影响.,狄利克雷(18 05 1859),德国数学家.,对数论,数学分析和,数学物理有突出的贡献,是解析数论,他是最早提倡严格化,方法的数学家.,函数 f(x)的傅里叶级数收敛的第一个充分条件;,了改变绝对收敛级数中项的顺序不影响级数的和,举例说明条件收敛级数不具有这样的性质.,他的主要,的创始人之一,并,论文都收在狄利克雷论文集(1889一1897)中.,1829年他得到了给定,证明,
