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1、,二、微分运算法则,三、高阶微分,第三节,一、微分的概念,函数的微分,第二章,四、微分在近似计算中的应用,一、微分的概念,引例:一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少?,设薄片边长为 x,面积为 A,则,面积的增量为,关于x 的线性主部,故,当 x 在,取,变到,边长由,其,的微分,定义:若函数,在点 的增量可表示为,(A 为不依赖于x 的常数),则称函数,而 称为,记作,即,定理:函数,在点 可微的充要条件是,即,在点,可微,定理:函数,证:“必要性”,已知,在点 可微,则,故,在点 可导,且,在点 可微的充要条件是,在点 处可导,且,即,定理:函数,在点 可微的充要条件
2、是,在点 处可导,且,即,“充分性”,已知,即,在点 的可导,则,说明:,时,所以,时,很小时,有近似公式,与,是等价无穷小,当,故当,微分的几何意义,当 很小时,则有,从而,导数也叫作微商,切线纵坐标的增量,自变量的微分,记作,记,例如,又如,二、微分运算法则,设 u(x),v(x)均可微,则,(C 为常数),分别可微,的微分为,微分形式不变,5.复合函数的微分,则复合函数,例1.,求,解:,例2.设,求,解:利用一阶微分形式不变性,有,例3.在下列括号中填入适当的函数使等式成立:,说明:上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.,注意,设函数,三、高阶微分,可导，,则它的微分,仍是,的函数.
3、,因此，若该函数二阶可导，则可再求,微分，得,此式称为函数,的二阶微分，记作：,同理可得,阶微分的定义.,四、微分在近似计算中的应用,当,很小时,使用原则:,得近似等式:,特别当,很小时,常用近似公式:,很小),证明:,令,得,的近似值.,解:设,取,则,例4.求,的近似值.,解:,例5.计算,例6.有一批半径为1cm 的球,为了提高球面的光洁度,解:已知球体体积为,镀铜体积为 V 在,时体积的增量,因此每只球需用铜约为,(g),用铜多少克.,估计一下,每只球需,要镀上一层铜,厚度定为 0.01cm,作业,P123 思考1;3(1),(3),(5),(7);4(1),(3),(5),(7);5(1),(3);,习题课,
