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1、,三、其他未定式,二、,型未定式,一、,型未定式,第二节,洛必达法则,第三章,微分中值定理,函数的性态,导数的性态,函数之商的极限,导数之商的极限,转化,(或 型),本节研究:,洛必达法则,洛必达,一、,存在(或为),定理 1.,型未定式,(洛必达法则),(在 x,a 之间),证:,无妨假设,在指出的邻域内任取,则,在以 x,a 为端点的区间上满足柯,故,定理条件:,西定理条件,存在(或为),推论1.,定理 1 中,换为下列过程之一:,推论 2.若,理1条件,则,条件 2)作相应的修改,定理 1 仍然成立.,洛必达法则,定理1,例1.求,解:,原式,注意:不是未定式不能用洛必达法则!,洛,洛,
2、例2.求,解:原式,思考:如何求,(n 为正整数)?,洛,二、,型未定式,存在(或为),定理 2.,证:仅就极限,存在的情形加以证明.,(洛必达法则),1),的情形,从而,2),的情形.,取常数,可用 1)中结论,3),时,结论仍然成立.(证明略),说明:定理中,换为,之一,条件 2)作相应的修改,定理仍然成立.,定理2,例3.求,解:,原式,例4.求,解:(1)n 为正整数的情形.,原式,洛,例4.求,(2)n 不为正整数的情形.,从而,由(1),用夹逼准则,存在正整数 k,使当 x 1 时,例4.,例3.,说明:,1)例3,例4 表明,时,后者比前者趋于,更快.,例如,事实上,用洛必达法则
3、,2)在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决 计算问题.,3)若,例如,极限不存在,不能用洛必达法则!,即,三、其他未定式:,解决方法:,通分,取倒数,取对数,例5.求,解:原式,洛,解:原式,例6.求,通分,取倒数,取对数,洛,例7.求,解:,利用 例5,例5,通分,取倒数,取对数,例8.求,解:注意到,原式,洛,例3,例9.求,法1.直接用洛必达法则.,下一步计算很繁!,法2.利用例3结果.,原式,例3,例3,内容小结,洛必达法则,思考与练习,1.设,是未定式极限,如果,是否,的极限也不存在?举例说明.,极限不存在,说明3),原式,分析:,说明3),分析:,3.,原式,洛,则,4.求,解:令,原式,洛,洛,作业,P138 1(6)，(7)，(9)，(12)，(13)，(16),*4,第三节,洛必达(1661 1704),法国数学家,他著有无穷小分析,(1696),并在该书中提出了求未定式极,限的方法,后人将其命名为“洛必达法,的摆线难题,以后又解出了伯努利提出的“最速降,线”问题,在他去世后的1720 年出版了他的关于圆,锥曲线的书.,则”.,他在15岁时就解决了帕斯卡提出,求下列极限:,解:,备用题,洛,则,原式=,解:令,(用洛必达法则),(继续用洛必达法则),解:,原式=,第三节,洛,
