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1、1,第二节,二、直角坐标系下二重积分的计算法,三、极坐标系下二重积分的计算法,二重积分的计算,第六章,一、二重积分的几何意义,四、曲线坐标下二重积分的计算法,2,定义:,将区域 D 任意分成 n 个小区域,任取一点,若存在一个常数 I,使,可积,在D上的二重积分.,积分和,是定义在有界区域 D上的有界函数,2.1 二重积分的几何意义,3,曲顶柱体体积:,平面薄板的质量:,如果 在D上可积,元素d也常记作,二重积分记作,这时,分区域 D,因此面积,可用平行坐标轴的直线来划,4,求体积:类似定积分解决问题的思想:,设,底：xOy 面上的闭区域 D,顶:连续曲面,侧面：以D的边界为准线,母线平,行于
2、 z 轴的柱面.,“分,匀,合,精”,（有界闭区域）,二重积分：,其几何意义就是曲顶柱体的体积,5,曲顶柱体体积的计算,设曲顶柱的底为,任取,平面,故曲顶柱体体积为,截面积为,截柱体的,记作,（X-型区域）,6,同样,曲顶柱的底为,则其体积可按如下两次积分计算,记作,（Y-型区域）,7,且在D上连续时,由曲顶柱体体积的计算可知,若D为 X-型区域,则,若D为Y-型区域,则,二、直角坐标系下二重积分的计算法,8,当被积函数,均非负,在D上变号时,因此上面讨论的累次积分法仍然有效.,由于,9,说明:(1)若积分区域既是 X-型区域又是Y-型区域,为计算方便,可选择积分序,必要时还可以交换积分序.,
3、则有,(2)若积分域较复杂,可将它分成若干,X-型域或Y-型域,则,10,例1.计算,其中D 是直线 y1,x2,及,yx 所围的闭区域.,解法1.将D看作X-型区域,则,解法2.将D看作Y-型区域,则,11,例2.计算,其中D 是抛物线,所围成的闭区域.,解:为计算简便,先对 x 后对 y 积分,及直线,则,12,例3.计算,其中D 是直线,所围成的闭区域.,解:由被积函数可知,因此取D 为X-型域:,先对 x 积分不行,说明:有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序.,13,例4.交换下列积分顺序,解:积分域由两部分组成:,视为Y-型区域,则,14,例5.计算,其中D 由,所围成.,解:令,(如图所示),显然,15,例6.求两个底圆半径为R 的直交圆柱面所围的体积.,解:设两个直圆柱方程为,利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为,则所求体积为,
