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1、,第二节,一、利用直角坐标计算二重积分,二、利用极坐标计算二重积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二重积分的计算方法（二）,第八章,对应有,二、利用极坐标计算二重积分,在极坐标系下,用同心圆,则除包含边界点的小区域外,小区域的面积,在,内取点,及射线=常数,分划区域D 为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,极坐标系下的面积元素为,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(1)极点在区域D的外部,(2)极点在区域D的内部,(3)极点在区域D的边界上,机动 目录 上页 下页 返回 结束,此时，若 f 1，则可求得D 的面积,思考:下列各图中域 D 分
2、别与 x,y 轴相切于原点,试,答:,问 的变化范围是什么?,(1),(2),机动 目录 上页 下页 返回 结束,将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下的二重积分，需依下列步骤进行：,(1)将 代入被积函数.,(2)将区域D的边界曲线换为极坐标系下的表达式，并确定相应的积分限.,(3)将面积元 dxdy 换为.,如果积分区域D为圆、半圆、圆环、扇形域等，或被积函数为 等形式，利用极坐标常能简化计算.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.计算,其中,解:在极坐标系下,原式,的原函数不是初等函数,故本题无法用直角,由于,故,坐标计算.,机动 目录 上页
3、下页 返回 结束,注:,利用例2可得到广义积分,事实上,当D 为 R2 时,利用例2的结果,得,故式成立.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4.,计算二重积分,所围成的平面区域.,解:,以1为半径的圆域,如图.,其边界曲线的极坐标方程为,所以,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5.求球体,被圆柱面,所截得的(含在柱面内的)立体的体积.,解:设,由对称性可知,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结
4、束,设函数,D 位于 x 轴上方的部分为D1,当区域关于 y 轴对称,函数关于变量 x 有奇偶性时,仍,在 D 上,在闭区域上连续,域D 关于x 轴对称,则,则,有类似结果.,在第一象限部分,则有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,补充：积分对称性,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,(1)二重积分化为累次积分的方法,直角坐标系情形:,若积分区域为,则,若积分区域为,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则,极坐标系情形:若积分区域为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(3)计算步骤及注意事项,画出积分域,选择坐标系,确定积分序,写出积分限,计算要简便:,域边界应尽量多为坐标线,被积函数关于坐标变量易分离,积分域分块要少,累次积好算为妙,图示法,不等式,(先积一条线,后扫积分域),充分利用对称性,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1.计算,其中D 为由圆,所围成的,及直线,解：,平面闭区域.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考,2.计算,其中D 由,所围成.,解:令,(如图所示),显然,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业,P319 8（2、4）；10（2）；11（1、4）,第二节 目录 上页 下页 返回 结束,
