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1、,可分离变量方程和齐次方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,8.2,齐次方程,可分离变量方程,第八章,或,形如,形如,8.2.1 可分离变量方程,两边积分,得,则有,称为方程的隐式通解.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,形如,若,则,若存在 使得，,可直接验证 也是的,解，,这个解有可能不包含在通解中。,解法：,为可分离变量方程。,其中,分别为x,y的连续函数.,例1.求微分方程,的通解.,解:分离变量得,两边积分,得,即,(C 为任意常数),或,说明:在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、,减解.,在分离变量时丢失了解 y=0，但其含在通解中，因为,机动 目录 上页 下页
2、返回 结束,允许 C=0.,令,例2.求解方程,解:分离变量得,两边积分得,即,(C 为任意常数),机动 目录 上页 下页 返回 结束,另外 y=0,x=0 也是方程的解，它不包含在通解中。,8.2.2 齐次方程,形如,的方程叫做齐次方程.,作变量变换,代入原方程得,两边积分,得,积分后再用,代替 u,便得原方程的通解.,解法:,分离变量:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3.解微分方程,解:,代入原方程得,分离变量,两边积分,得,故原方程的通解为,(C 为任意常数),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4.解微分方程,解:,则有,分离变量,积分得,代回原变量得通解,即,说明:显然 x
3、=0,y=0,y=x 也是原方程的解,但在,(C 为任意常数),求解过程中丢失了.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1.可分离变量方程的求解方法:,分离变量后积分;,根据定解条件定常数.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.齐次方程的求解方法：,通过变量变换,将齐次方程转化为可分离变量,方程，,按可分离变量方程的方法解完后，,再将变换代,回即可。,作业,P 353 1(1),(3),(5);2(1),(3);3(2),(4).,第三节 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,求下列方程的通解:,提示:,(1)分离变量,(2)方程变形为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,备用题,解法 1 分离变量,即,(C 0),解法 2,故有,积分,(C 为任意常数),所求通解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
