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1、一、Dirac 函数,1Dirac函数的定义 2Dirac函数可以用一些连续函数的序列极限来表示 3Dirac 函数的性质 4复合函数形式的Dirac函数h(x)5二维Dirac函数,早在一个多世纪前，物理学家就感到有必要引入一个数学符号来描述质点、点电荷、点光源及又窄又强的电脉冲等一类物理量，当时用于描述这种物理量的数学符号被称之为冲击脉冲符号。1947年，英国物理学家在他的著作Principle of Quantum Mechanics中正式引入(x)，并称它为奇异函数或广义函数。,(x)函数之所以被称为奇异函数或广义函数，原因在于：一、它不象普通函数那样存在确定的函数值，而是一种极限状态
2、，而且它的极限也和普通函数不同，不是收敛到定值，而是收敛到无穷大；二、函数不象普通函数那样进行四则运算和乘幂运算，它对别的函数的作用只能通过积分来确定。,1Dirac 函数的定义,对于自变量为一维的函数(x)来说，它满足下列条件：,(1),这表明，(x)函数在x0点处处为零，在x=0点出现无穷大极值，x=0点又称为奇异点。但是，尽管(0)趋近于无穷大，对它的积分却等于1，即对应着函数的面积或强度等于1，所以(x)又叫做单位脉冲函数。,很显然，等式：,(2),成立。,在光学里，(x)函数常常用来表示位于坐标原点的具有单位光功率的点光源，由于点光源所占面积趋近于零，所以在x=0点功率密度趋近于无穷
3、大。,在(1)和(2)中变换原点，得到：,(3),其中a为任意常数。因此用(x-a)乘x的函数，并对所有x积分的过程，等效于用a代替x的过程。,*定义的另外形式：,2(x)可以用一些连续函数的序列极限来表示,1)、归一化的Gauss分布函数G(x)：,(4),该函数具有如下的性质：,(5),当0时，G(x)就趋向于(x)，即：,(6),(1),(3),证明：,由(4)式可以看出，当x=0，0时，,而当x0，0时，,由公式(5)得：,所以由公式(6)所定义的函数满足(x)函数的条件(1)式。可见归一化的Gauss函数的序列极限可以表示(x)函数。,(7),其中0。,证明：,当x=0时，,当x0时
4、，sin(x)/(x)以周期2/振荡，振幅随着|x|的增加而减小。所以，当时，,于是有：,当0时，查找定积分表可得到：,所以有：,3)、函数,的极限,也满足(x)函数的条,件，即：,(8),其中0。,证明：,当x=0时，,当x0时，sin(x)/(x)以周期2/振荡，振幅随着|x|的增加而减小。所以：当时，sin(x)/(x)0,于是有：,查找定积分表可得到：,于是有：,(8),4)、阶跃函数的导数也可以表示Dirac(x)函数。,根据第一次课所讲的内容可知，阶跃函数step(x)也称为Heaviside函数，也可以用H(x)表示，其定义如下：,(9),函数H(x-a)对x的导数也满足(x)的
5、条件，即：,(10),很容易看出，当xa时，,而当x=a时，,利用分步法计算积分，有：,根据以上讨论，再结合式(3)可知，Heaviside函数H(x-a)对x的导数可以表示Dirac(x)函数，即式(10)成立。,证明：,3Dirac函数的性质,性质1)、积分性质：函数的定义式：,即表明了函数的积分性质，这个积分也可称之为函数的强度。,性质2)、筛选性质：式(2)表明了函数的筛选性质。,则是其推论。,(2),而式(3)中的,由此得出推论：,性质3)、坐标缩放性质，设a为常数，且不为零，则有：,推论1：(-x)=(x)说明函数具有偶对称性。,推论2：,性质4)、函数的乘法性质：如果f(x)在x
6、0点连续，则有：,由此得出推论：x(x)=0和,4复合函数形式的函数h(x),设方程h(x)=0有n个实数根x1，x2，xn，则在任意实根xi附近足够小的邻域内有：h(x)=h(xi)(x-xi)其中h(xi)是h(x)在x=xi处的一阶导数。如果h(xi)0，则在xi附近可以写出：,h(x)=h(xi)(x-xi)=,上式表明，h(x)是由n个脉冲构成的脉冲系列，各个脉冲位置由方程h(x)=0的n个实根确定，各脉冲的强度则由系数|h(xi)|-1来确定。,若h(xi)在n个实根处皆不为零，则有：,h(xi)0,推论：,5二维函数函数,*1、直角坐标系的情况二维函数表示为(x,y)，它是位于x
7、y平面坐标原点处的一个单位脉冲。二维函数是可分离变量函数，即有：(x,y)=(x)(y)二维函数的性质以及其证明过程与一维函数的情形相同。,*2、极坐标系的情况(x，y)(r，)，必须要保证：1)、脉冲位置相同；2)、二者强度(即曲面下体积)相同。只有这样，坐标变换才是等价的。,几个二维函数在两种坐标系中的位置关系,表1,考虑到脉冲强度的对应关系，下面给出两个二维函数坐标变换的例子：,显然，(x，y)和(r)的位置相同。,例1)、,可见，脉冲位置和强度都相同，所以坐标变换成立。,证明：,(x，y)曲面下的体积为：,例2)、,其中，,显然，(x-x0，y-y0)与(r-r0，-0)的位置是相同的。,而(r-r0，-0)曲面下的体积为：,可见强度也相同，所以坐标变换成立。,证明：,(x-x0，y-y0)曲面下的体积为：,
