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1、第二节 单向分组资料的方差分析,1、组内观察值数目相等的单向分组资料的方差分析2、组内观察值数目不等的单向分组资料的方差分析3、组内又分亚组的单向分组资料的方差分析,设有K个处理，每处理均有n个供试单位的资料，其方差分析表为：,方差分析表,第二节 单向分组资料的方差分析,1.组内观察值数目相等的单向分组资料的方差分析,1.1 单向分组资料方差分析数据的基本模式,表 每组具n个观察值的k组样本的符号表,1.组内观察值数目相等的单向分组资料的方差分析,上述资料的自由度和平方和的分解式为：总自由度组间自由度 组内自由度（nk-1）（k1）+k(n-1)总平方和组间平方和 组内平方和,计算公式,1.组
2、内观察值数目相等的单向分组资料的方差分析,总变异是nk个观察值的变异，平方和SST为：,式中，C 称为矫正数。,总平方和(SST),1.组内观察值数目相等的单向分组资料的方差分析,组内的变异为各组内观察值与组平均数的相差，故每组具有n1个自由度，平方和为，而总共有k 组资料，故组内自由度为k（n1），而组内平方和SSe为：,组间变异即k个平均数的变异，故其自由度为k1，平方和 SSt 为：,1.组内观察值数目相等的单向分组资料的方差分析,均方的计算：,总均方：,组间均方：,组内均方：,1.组内观察值数目相等的单向分组资料的方差分析,方差分析表,1.2 例题：以A、B、C、D4种药剂处理水稻种子
3、，其中A为对照，每处理得4个苗高观察值，结果如下表，试进行自由度和平方和的分解，并测验药剂间变异是否显著大于药剂内变异？表 水稻不同药剂处理的苗高假设：H0：12 22；HA：12 22。显著水平：0.05,DF1=3,DF2=12时,F0.05,(3,12)3.49。,1.组内观察值数目相等的单向分组资料的方差分析,a.分解自由度总自由度组间自由度 组内自由度(nk-1)=(k-1)+k(n-1)441（41）4（41）15 3 12b.分解和平方和：,组间平方和,x2=182+202+212+322=623 C=3361621SST=623-21=602,(722+922+562+1162
4、)421504,组内平方和(SSe)总平方和组间平方和60250498,总平方和,计算过程：,1.组内观察值数目相等的单向分组资料的方差分析,C.计算均方,6021540.13,组间均方,组内均方,总均方,5043168.0,98128.17,1.组内观察值数目相等的单向分组资料的方差分析,方差分析表,平方和 自由度 均方 F(3,12)F0.05SSt=504 3 St2=504/3=168 St2/Se2=20.56*3.49SSe=SST-SSt=98 12 Se2=98/12=8.17 F0.01SST=602 15 ST2=602/15=40.13 5.74,d.计算F值（列出方差分
5、析表）,1.组内观察值数目相等的单向分组资料的方差分析,计算平均数的标准误采用新复极差法，查SSR表，自由度为12时平均数大小排序、比较,e.多重比较,处理 苗高 显著性 0.05 0.01 D 29 a A B 23 b AB A 18 c BC C 14 c C,f.结论 本试验中不同处理间有极显著差异（F值20.56F.01值（5.47），其中在.05水平上D处理与其他处理有显著差异，B处理与A、C处理有显著差异。在.01水平D处理与A、C处理间有显著差异，B处理与C处理有显著差异。其他处理间差异均不显著。,1.组内观察值数目相等的单向分组资料的方差分析,2、组内观察值数目不等的单向分组
6、资料的方差分析,其方差分析表为：,方差分析表,第二节 单向分组资料的方差分析,设有K个处理，每处理中的观察值数目分别为n1，n2,nk的资料，其数据类型如表：,例：调查4种不同类型的水稻田28块，每田稻纵卷叶螟的百丛虫口密度如表，问不同类型田的虫口密度有无差异？,表 4块稻田的虫口密度,a.分解自由度总自由度28-1=27处理间自由度k-1=3处理内自由度27324,b.计算平方和C3272283 818.89SST=x2-C=4 045-3 818.89=226.11SSt=1022/7+732/6+802/8+722/7-C=96.13SSe=SST-SSt=129.98,2、组内观察值数
7、目不等的单向分组资料的方差分析,C.计算均方,226.111540.13,组间均方,组内均方,总均方,96.13332.04,129.98245.42,2、组内观察值数目不等的单向分组资料的方差分析,方差分析表,平方和 自由度 均方 F F0.01SSt=96.13 3 St2=96.13/3=32.04 St2/Se2=5.91*4.72SSe=129.98 24 Se2=129.98/24=5.42SST=226.11 27,d.计算F值（列出方差分析表）,2、组内观察值数目不等的单向分组资料的方差分析,计算平均数的标准误采用新复极差法，查SSR表，自由度为12时平均数大小排序、比较,e.
8、多重比较,处理 虫口密度 显著性 0.05 0.01 A 14.57 a A B 12.17 ab AB D 10.29 b B C 10.0 b B,计算新的n0值，,2、组内观察值数目不等的单向分组资料的方差分析,处理 虫口密度 显著性 0.05 0.01 A 14.57 a A B 12.17 ab AB D 10.29 b B C 10.0 b B,f.结论 本试验中不同处理间有极显著差异(F=5.91F.01(4.72)，其中在.05和.01水平上第1块田与第3、4田的虫口密度有显著差异，其他处理间差异均不显著。,2、组内观察值数目不等的单向分组资料的方差分析,3、组内又分亚组的单向
9、分组资料的方差分析,假设某系统资料共有L组，每组内又分为m个亚组，每一个亚组内有n个观察值的资料见下表。,表 组内分亚组的lmn个观察值,第二节 单向分组资料的方差分析,方差分析表,3、组内又分亚组的单向分组资料的方差分析,这种组内又分亚组的单向分组资料简称系统分组资料。能够获得此类资料的试验设计成为巢式设计（Nested design）。,例 在温室内以4种培养液培养某作物，每种3盆，每盆4株，一个月后测定其株高生长量，结果见表，试作方差分析。,表 4种培养液下的株高增长量,3、组内又分亚组的单向分组资料的方差分析,假设：H0：Kt20；HA：Kt2 0（培养液间）。显著水平：0.05。a.
10、自由度的分解结果见下表。b.平方和的分解,3、组内又分亚组的单向分组资料的方差分析,L=4、m=3、n=4,总变异平方和,培养液间平方和,培养液间平方和,(4952+6252+88027752)(34)C167 556.25-C=7 126.56,培养液内盆间间平方和,盆内植株间平方和,=(1802+1402+2902)/4167 556.25=168 818.75167 556.25=1 262.50,=172 025-168 818.75=3 206.25,c.计算均方,培养液间 MStSSt/(L-1)=7 126.563=2375.52培养液内盆间MSe1SSe1/L(m-1)=1 2
11、62.508=157.8 盆内植株间 MSe2SSe2/Lm(n-1)=3 206.253689.063,方差分析表,d.计算F值（列出方差分析表）,表 4种培养液的LSR值,3、组内又分亚组的单向分组资料的方差分析,4种培养液植株生长量的差异显著性,e.多重比较,结论：培养液间的生长量有显著的差异(F=15.0F.05值(4.07)，而同一培养液内各盆间的生长量无显著差异。多重比较结果表示，A、B处理与C、D处理之间有显著差异。,3、组内又分亚组的单向分组资料的方差分析,第三节 两向分组资料的方差分析,1、组合内只有单个观察值的两向分组资料2、组合内有重复观察值的两向分组资料,按两个因素交叉
12、分组的试验资料称为两向分组资料。如选用几种温度和几种培养基培养某病原真菌，以研究其生长速率，其每一个观察值都是某一温度和某一培养基组合同时作用的结果，属两向分组资料。,1、组合内只有单个观察值的两向分组资料,设有A和B两个因素，A因素有a个处理，B因素有b个处理，每一个处理组合仅有1个观察值，则全试验共有ab个观察值，其资料类型如下表。,表 完全随机设计的二因素试验每处理组合只有一个观察值资料,第三节 两向分组资料的方差分析,方差分析表,1、组合内只有单个观察值的两向分组资料,在上述资料中，如果存在A与B的互作，则与误差混淆，无法分析互作，因此不能取得合理的试验误差估计。只有AB互作不存在时，
13、才能正确估计误差。但在田间试验中，上述方差分析却是常见的。因为在随机区组试验中，处理可以看作A因素，区组可以看作B因素；而区组效应是随机模型，处理和区组的互作在理论上是不存在的，但这种试验设计的误差项自由度一般不应小于12。,1、组合内只有单个观察值的两向分组资料,例 用生长素处理豌豆，共6个处理。豌豆种子发芽后，分别在每一个木箱中移栽4株，每组6箱，每箱一个处理。试验共4组24箱。试验时按组编排于温室中，使同组各箱的环境温度条件一致。记录第一朵花时4株豌豆的总节间数，结果见下表。试作方差分析。,表 生长素处理豌豆的试验结果,1、组合内只有单个观察值的两向分组资料,方差分析表,推断：组间环境条
14、件无显著差异，不同生长素处理有显著差异。,1、组合内只有单个观察值的两向分组资料,处理与对照比较：,1、组合内只有单个观察值的两向分组资料,表 豌豆生长素处理后始花时的节间数（4株总和）,1、组合内只有单个观察值的两向分组资料,表 完全随机设计的二因素试验每处理组合有n个观察值资料,设有A和B两个因素，A因素有a个处理，B因素有b个处理，每一个处理组合有n个观察值，则全试验共有abn个观察值，其资料类型如下表。,2、组合内有重复观察值的两向分组资料,第三节 两向分组资料的方差分析,方差分析表,2、组合内有重复观察值的两向分组资料,各变异来源的期望均方,2、组合内有重复观察值的两向分组资料,对于
15、2因素试验，如果皆为固定模型而且又未能确定因素间有无互作，就必须使各处理组合有重复观察值。否则，互作和试验误差混杂，无法正确估计。,2、组合内有重复观察值的两向分组资料,例 施用A1，A2，A3三种肥料于B1，B2，B3三种土壤，以小麦为指示作物，每处理组合种3盆，得产量见下表。试作方差分析。,表 3种肥料施于3种土壤的小麦产量,2、组合内有重复观察值的两向分组资料,方差分析表,2、组合内有重复观察值的两向分组资料,以固定模型作F测验：假设H0：()ij0，计算得F4.79/0.928=5.16；假设H0：i0，计算得F89.73/0.928=96.8；假设H0：j0，计算得F1.98/0.928=2.13；所以该试验肥类土类的互作，肥类的效应都是极显著的，而土类间无显著差异。,2、组合内有重复观察值的两向分组资料,多重比较：1、各肥类平均数的比较,表 LSR值,2、组合内有重复观察值的两向分组资料,表 各肥类平均数的新复极差测验,2、组合内有重复观察值的两向分组资料,
