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1、3 稳恒电流（DC circuits）,在中学里都已初步学过直流电路的原理，本章准备在此基础上，从理论和实际应用两方面加以提高。,1和2的目的是从理论上提高，即用前两章学过的场的观点来阐述稳恒电流的原理，由此导出一些读者已熟悉的公式；此外对金属导电的微观机制也作一定的说明，旨在使读者能够对直流电路的规律有深入一步的认识。3和4则介绍直流电路原理的一些重要应用和计算方法、计算技巧，藉以提高读者分析和解决直流电路问题的能力。,31 电流的稳衡条件及导电规律1电流强度和电流密度矢量 电荷的定向流动形成电流。产生电流的条件有两个：(1)存在可以自由移动的电荷（自由电荷）；(2)存在电场。在一定的电场中
2、，正、负电荷总是沿着相反方向运动的，而正电荷沿某一方向运动和等量的,负电荷反方向运动所产生的电磁效应大部分相同。因此，尽管在金属中电流是由带负电的电子流动形成的，而在电解液和气态导体中，电流却是由正、负离子及电子形成的，但是为了分析问题方便，习惯上把电流看成是正电荷流动形成的，并且规定正电荷流动的方向为电流的方向。这样，在导体中电流的方向总是沿着电场方向，从高电位处指向低电位处。,电流强度定义：单位时间内通过导体任意横截面的电量。当(3-1)电流强度是M KS A单位制中的四个基本量之一，它的单位叫做,图31电流体分布例子,安培，简称安，用A表示，其定义将在下章介绍。有些实际场合，如在电磁测量
3、和电子学中，往往嫌这种单位太大，而采用在单位“安”前加词冠“毫”或“微”的单位，即毫安(mA）和微安（A）。它们和安培之间的关系是 1毫安10安，1微安10安。,电流密度矢量电流强度是标量，它只能描述导体中通过某一截面电流的整体特征。在通常的电路问题中，一般引入电流强度概念就可以了。可是，在实际中有时会遇到电流在大块导体中流动的情形（如电阻法勘探问题），这时导体的不同部分电流的大小和方向都不一样，形成一定的电流分布。此外，以后我们将看到，在迅变交流电中，由于趋肤效应，即使在很细的导线中电流沿横截面也有一定,的分布。因此仅有电流强度的概念是不够的，还必须引入能够细致描述电流分布的物理量电流密度矢
4、量。定义：电流密度是一个矢量，这矢量在导体中各点的方向代表垓点电流的方向，其数值等于通过该点单位垂直截面的电流强度。设想在导体中某点取一个与电流方向垂直的截面元，则通过的电流强度与该点电流密度的关系是,如果截面元 的法线n与电流方向成倾斜角（图3-2b），则(3-2)或写成矢量形式，(3-3)设想在导体中某点取一个与电流方向垂直的截面元（图3-2a），则通过 的电流强度 与该点电流密度 的关系是,如果截面元 的法线n与电流方向成倾斜角（图3-2b），则 或写成矢量形式，,图32电流密度所以,讨论:(1)定义电流线-就是这样些曲线，其上每点的切线方向都和该点的电流密度矢量方向一致。,(a),(b
5、),(2)有了电流密度矢量的概念，就可以描述大块导体中的电流分布了。在大块导体中各点有不同的数值和方向，这就构成一个矢量场，即电流场。象电场分布可以用电力线来形象地描绘一样，电流场也可以用电流线来描绘。通过导体中任意截面S的电流强度I与电流密度矢量的关系为(3-4),(2)有了电流密度矢量,由此可见，电流密度和电流强度I的关系，就是一个矢量场和它的通量的关系。从电流密度的定义可以看出，它的单位是安培米2 电流连续性方程 稳恒条件(1)电流连续性方程 电流场的一个重要的基本性质是它的连续程，它的实质是电荷守恒定律。,设想在导体内取任一闭合曲面S，则根据电荷守恒定律，在某段时间里由此面流出的电量等
6、于在这段时间里S面内包含的电量的减少。象以前表述高斯定理那样，在S面上处处取外法线，则在单位时间里由S面流出的电量应等于。设时间里包含在S面内的电量增量为，则在单位时间里S面内的电量减少为。如上所述，二者数值相等，即(3.5),，,式中负号表示“减少”。这便是电流连续方程（积分形式）。式（3.5）表明，电流线是终止或发出于电荷发生变化的地方。具含意是，如果闭合面S内正电荷积累起来，则流入S面内的电量必大于从S面内流出的电量，也就是说，进入S面的电流线多于从S面出来的电流线，所多余的电流线便终止于正电荷积累的地方。,电流指电流场不随时间变化，这就 要求电荷的分布不随时间变化，因而电荷产生的电场是
7、稳恒电场，即静电场。否则电荷分布发生变化，必然引起电场发生变化，电流场,(2)稳恒条件,图33电流体分布例子,就不可能维持稳恒。因此，在稳恒条件下，对于任意闭合曲面S，面内的电量不随时间变化，即，由（3.5）得(3-6)式（3.6）叫做电流的稳恒条件，它表明，通过S面一侧流入的电量等于从另一侧流出的电量，也就是说，电流线连续地穿过闭合曲面所包围的体积。因此稳恒电流的电流线不可能在任何地方中断，它们永远是闭合曲线。,在稳恒条件下，通过同一电流管各截面的电流强度（即j的通量）都相等。通常的电路由导线联成，电流线沿着导线分布，导线本身就是一个电流管。所以在稳恒,图3-4 电流连续原理,电路中，在一段
8、没有分支的电路里，通过各截面的电流强度必定相等。此外电流的稳恒条件还表明，稳恒电路必须是闭合的。,3 欧姆定律 电阻 电阻率(1)欧姆定律 电阻和电导 稳恒电场和静电场一样，满足环路定理：，从而可以引入电位差（电压）的概念。电场是形成电流的必要条件，我们也可以说，要使导体内有电流通过，两端必须有一定的电压。加在导体两端的电压不同，通过该导体的电流强度也不同。加在导体两端的电压不同，通过该导体的体,的电流强度也不同。精确的实验表明，在稳恒条件下，通过一段导体的电流强度和导体两端的电压成正比，即。这个结论叫做欧姆定律。如果写成等式，则有，或，(3-7)式中的比例系数由导体的性质决定，叫做导体的电阻
9、。,不同的导体，电阻的数值一般不同。式（3.7）给出了任意一段导体电压、电流强度和电阻三者之间的关系:R=U/I(3-8)讨论:1)实验证明，欧姆定律不仅适用于金属导体，而且对电解液（酸、碱、盐的水溶液）也适用。2)电阻的单位是电压和电流强度的单位之比，即伏特安培，这单位叫做欧姆，写作欧或希腊,字母。欧姆是这样一段导体的电阻，当加在导体两端的电压为1伏特时，通过导体的电流强度恰为1安培。除了欧姆外，电阻的常用单位还有千欧（）和兆欧（M）：1千欧10欧；1兆欧10欧。3)电阻的倒数叫做电导，用表示，电导的单位叫做西门子，它等于（欧姆）。,(2）电阻率和电导率 导体电阻的大小与导体的材料和几何形状
10、有关。实验表明，对于由一定材料制成的横截面均匀的导体，它的电阻 R 与长度 l 成正比，与横截面积 S 成反比。写成等式，有(3-9)式中的比例系数 由导体的材料决定，叫做材料的电阻率。如果令式（3-9）中的=1米，,=1米，则 在数值上等于。这说明，某种材料的电阻率就表示用这种材料制成的长度为1米、横截面积为1米 的导体所具有的电阻。讨论:1)当导线的截面 或电阻率 不均匀时，式（3-9）应写成下列积分式：。（3.10）,从式（3.10）可以看出，电阻率的单位是欧姆，即欧姆米，简写做欧米。2)不同材料有不同的电阻率，银、铜、铝等金属的电阻率很小，而铁铬铝、镍铬等合金的电阻率较大。因此，一般都
11、用电阻率小的铜和铝来制导线，用铁铬铝和镍铬合金作电炉、电阻器的电阻丝。电阻率的倒数叫做电导率，用表示，,，(3-11)电导率的单位是西门子/米。（3）欧姆定律的微分形式 电荷的流动是由电场来推动的，因此电流场j的分布和电场E的分布密切相关。它们之间的关系可由上述欧姆定律 导出。设想在导体的电流场内取一小电流管，设其长度为，垂直截面为。把欧姆定律用于这段,电流管，则有，式中 为管内的电流强度，为沿这段电流管的电位降落。实验表明，导体中的场强E与电流密度j方向处处一致，所以场强的方向也是沿电流管的，从而。为电流管内导体的电阻，设它的电导率为，则。把这些都代入上式，即得,由于j和E方向一致，上式可写
12、成矢量形式:J E,(3-12)这公式叫做欧姆定律的微分形式。它表明，j与E方向一致，数值上成比例。讨论:1)式（3.7）即 中的和 都是积分量，故可叫做欧姆定律的积分形式。欧姆定律的积分形式描述的是一段有限长度、有限截,面导线的导电规律，而欧姆定律的微分形式给出了j和E的点点对应关系，所以它比积分形式能够更为细致地描述导体的导电规律。2)必须说明，欧姆定律的微分形式虽是在稳恒条件下推导出来的，但在变化不太快的时候，对非稳恒情况也适用。在这一点上它比欧姆定律的积分形式更普遍。,4 电功率 焦耳定律(1)电功率 电流通过一段电路时，电场力对电荷做功，在做功的过程中，电位能转化成其他形式的能量。如
13、果这段电路只是由导线和电阻元件（如电炉或白炽灯）组成的，电位能就转化成热能，由导线和炉丝或灯丝释放；如果电路是由导线和直流电动机组成的，电位能的一小部分转化成热能，由导线释放，大部分转化成机械能，由电动机对外,界作机械功。此外，电能还可以有其它多种转换形式，不一一列举了。由电压的定义可以知道，若电路两端的电压为，则当 单位的电荷通过这段电路时，电场力所做的功为 因为，所以上式可以写成(3-13)电场在单位时间内所做的功，叫做电功率。如果,用 表示电功率，那么根椐上式可得(3-14)即电功率等于电路两端的电压和通过电路的电流强度的乘积。电压的单位是伏特，电流强度的单位是安培，时间的单位是秒，根据
14、式（3.13）和（3.14）求出的电功和电功率的单位分别是焦耳和瓦特（用字母J和W表示）。在电力工程上，通常用千瓦（kW）作电功率的单位，用千瓦小时作电功的,单位。我们平时所说的1度电，就指的是1千瓦小时。千瓦小时和焦耳之间的关系是 1千瓦小时1000瓦3600秒3.610焦 3.6兆焦。用电器上一般都标有额定电压和额定功率。例如，电灯泡上标有“220V 60W”，就表明这个灯泡在220伏的电压下工作时，功率是60瓦。,(2)焦耳定律 如果一段电路只包含电阻，而不包含电动机、电解槽等其他转换能量的装置，那么电场所做的功就全部转化成热。这时，根据能量转化和守恒定律，式（3.14）也就表示电流通过
15、这段电路所发的热，即（3-16）由欧姆定律 或，还可以把上式写成 或（3-17）,式中热量 的单位是焦耳。式（3.17）最初是焦耳直接根据实验结果确定的，叫做焦耳定律。讨论:(1)因为功率，所以由式（3.17）可以得出电流通过电阻时发热的功率：，或，(3-18)式中热功率 的单位是瓦。(2)式（3.18）和式（3.15）是有区别,的。是一段电路所消耗的全部电功率，而 或 只是由于电阻发热而消耗的电功率。当电路中只有电阻元件时，消耗的电能全部转化成热，这两种功率是一样的。但是，当电路中除了电阻外还有电动机、电解槽等其它转换能量的装置时，这两种功率并不相等，必须分别计算。(3)单位体积内的热功率，
16、叫做热功率密度，用表示。引入热功率密度的概念后，焦耳定律也,可写成微分形式：(3-19)推导此式的方法和欧姆定律一样，可利用图3-4所示的小电流管。5 金属导电的经典微观解释 金属导电的宏观规律是由它的微观导电机制所决定的。下面，我们根据简单的经典理论说明为什么金属导电遵从欧姆定律，并把电导率和微观量的平均值联系起来。,(1)首先定性地描述一下金属导电的微观图像。当导体内没有电场时，从微观角度上看，导体内的自由电荷并不是静止不,动的。以金属为例，金属的自由电子好象气体中的分子一样，总是在不停地作无规则热运动。电,3-5电子的热运动,子的运动是杂乱无章的，在没有外电场或其它原因（如电子数密度或温
17、度的梯度）的情况下，它们朝任何一方运动的几率都一样。如图3-5所示，设想在金属内部任意作一横截面，那么在任意,一段时间内平均说来，由两边穿过截面的电子数相等。因此，从宏观角度上看，自由电子的,图3-6电子的漂移,无规热运动没有集体定向的效果，因此并不形成电流。自由电子在作热运动的同时，还不时地与晶体点阵上的原子实碰撞，所以每个自由电子的轨迹如图3-6中的实线所示，是一条迁回曲折的折线。如果在金属导体加中了电场以后，每个自由电子的轨迹将如图3-7中的虚线所示那样，逆着电场方向发生“漂移”。这时可以认,为自由电子的总速度是由它的热运动速度和因电场产生的附加定向速度两部分组成，前者的矢量平均仍为0，后者的平均叫做漂移速度，下面用u来表示它。正是这种宏观上的漂移运动形成了宏观电流。,
