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1、能用函数的性质解决简单的实际问题,2.9 函数的应用,一、解决函数应用题的步骤 1阅读理解：读懂题目中的文字叙述所反映的实际背景，领悟其中的数学本质，弄清题目中出现的量的数学含义 2分析建模：分析题目中量与量之间的关系，根据题意恰当地引入字母(包括常量和变量)，有时可借助列表和画图等手段理顺数量关系，同时要注意由已知条件联想熟知的函数模型，以确定函数的种类，再对已知条件和目标变量进行综合分析在归纳抽象的基础上，建立目标函数，将实际问题转化为数学问题,3数学求解：利用相关的函数知识，进行合理设计，以确定最佳的解题方案，进行数学上的求解和计算4还原总结：把计算获得的结果还原到实际问题中去解释实际问
2、题，即对实际问题进行总结作答,二、常见的几种函数模型1一次函数：ykxb2二次函数：yax2bxc3反比例函数：y4指数函数型：ya(1p)x5yx6分段函数,1从1999年11月1日起，全国储蓄存款征收利息税，利息税的税率为20%，由各银行储蓄点代扣代收，某人2000年6月1日存入若干万元人民币，年利率为2%，到2001年6月1日取款时被银行扣除利息税138.64元，则该存款人的本金介于()A3万4万元 B4万5万元 C5万6万元 D2万3万元解析：设存入的本金为x，则x2%20%138.64，x 34 660.答案：A,2某厂产量第二年增长率为a，第三年增长率为b，这两年平均增长率为x，则
3、有()解析：设第一年产量为M，根据已知条件M(1a)(1b)M(1x)2，即x 故选B.答案：B,3据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b,2003年产生的垃圾量为a吨，由此预测，该区下一年的垃圾量为_吨，2008年的垃圾量为_吨解析：2004年垃圾量为a(1b),2008年垃圾量为a(1b)5.答案：a(1b)a(1b)5,4某林厂年初有森林木材存量1 080 m3，若木材以每年25%的增长率生长，而每年末要砍伐固定的木材量xm3，为保证经过两次砍伐后木材的存量增加50%，则x的值为_解析：据题意可知砍伐第一次后木材存量为1 080(125%)x，第二次砍伐后木材存量为1 080(12
4、5%)x(125%)x，据题意得：1 080(125%)x(125%)x1 080(150%)x30.答案：30,二次函数是我们比较常见的函数模型，建立二次函数模型可以求出函数的最值，解决实际问题中的最优化问题，值得注意的是要分析自变量的取值范围和二次函数图象对称轴的位置,【例1】某企业生产一种产品时，固定成本为5 000元，而每生产100台产品时直接消耗成本要增加2 500元，市场对此商品年需求量为500台，销售的收入函数为R(x)5x x2(万元)(0 x5)，其中x是产品售出的数量(单位：百台)(1)把利润表示为年产量的函数；(2)年产量多少时，企业所得的利润最大；(3)年产量多少时，企
5、业才不亏本？,解答：(1)利润y是指生产数量x的产品售出后的总收入R(x)与其总成本C(x)之差，由题意，当x5时，产品能全部售出，当x5时，只能销售500台，所以y 当x4.75时，ymax10.80；当x5时，y120.25为单调减函数，y120.25510.75，又10.8010.75，ymax10.80，此时x475台，当年产量为475台时利润最大,(3)要使该公司不亏本须：或 0.1x5或5x48，即0.1x48，故年产量为10台到480台时不亏本,函数yx(a0)也称为“对勾”函数解决“对勾”函数的最值问题通常利用基本不等式，但特别要注意基本不等式中等量成立的条件，如若等号不能成立
6、时，可通过判断函数的单调性解决函数的最值问题,【例2】某村计划建造一个室内面积为800 m2的矩形蔬菜温室，在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m宽的通道，沿前侧内墙保留3 m宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大面积是多少？解答：设温室的左侧边长为x m，则后侧边长为 m.,当且仅当x，即x40，此时 20(m)，y最大648 m2.当矩形温室的左侧边长为40 m，后侧边长为20 m 时，蔬菜的种植面积最大，为648 m2.,变式2.某工厂有一段旧墙长14 m，现准备利用这段旧墙为一面建造平面图形为矩形，面积为126 m2的厂房，工程条件是：建1 m 新墙的费用
7、为a元；修1 m旧墙费用是 元；拆去1 m旧墙，用所得的材料建1 m新墙的费用为 元，经讨论有两种方案：(1)利用旧墙的一段x m(x14)为矩形厂房一面的边长；(2)矩形厂房利用旧墙的一面边长x14，问如何利用旧墙，即x为多少米时，建墙费用最省？(1)、(2)两种方案哪个更好？,解答：(1)利用旧墙的一段x m(x14)为矩形一面边长，则修旧墙的费用x 元，将剩余的旧墙拆得的材料建新墙的费用为(14x)元，其余建新墙的费用,故当x14时，ymin a2a(14 7)35.5a.综上讨论知，采用第(1)方案，利用旧墙12 m为矩形的一面边长时，建墙总费用最省，为35a元.,函数yx 在14，)
8、上为增函数,1.现实生活中有很多问题都可以用分段函数表示，如出租车计费、个人所得税等问题，分段函数是解决实际问题的重要模型2分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可先将其看作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的变化范围，特别是端点值3构造分段函数时，要力求准确简捷，做到分段合理，不重不漏，分段函数也是分类讨论问题,【例3】某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x，3x(吨)(1)求y关于x的函数；(2)若甲、乙两户该
9、月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量水费,解答：(1)当0 x 时，y(5x3x)1.8014.4x，当 x 时，y(43x)1.80(5x4)3.0020.4x4.8，当x 时，y(44)1.80(5x4)(3x4)3.0024x9.6因此(2)当x 时，y22.4，因此由24x9.626.4，解得x1.5，因此甲、乙两户该月的用水量分别是7.5吨、4.5吨；甲、乙两户该月应交水费分别为17.7元、8.7元.,1理解函数思想及函数与方程思想的实质，强化应用意识2通过解决函数应用题提高学生的阅读理解能力，抽象转化能力和解答实际问题的能力(1)含增长问题一般可建立指数型函数模型y
10、a(1p)x.(2)指数式和对数式的计算问题应借助计算器进行(3)实际问题要按精确度要求作近似计算，并且变形时要控制误差(注意单位的统一等问题),【方法规律】,3几种重要的函数模型的应用(1)应用二次函数模型解决有关最值问题(2)应用分式函数模型：yx(a0)，结合单调性或重要不等式解决有关最值问题(3)应用函数模型：ykx(k0)、yN(1p)x(N0，p0)、ylogax解决与直线上升、指数爆炸、对数增长有关的实际问题,4求解函数应用题的一般方法“数学建模”是解决数学应用题的重要方法，解应用题的一般程序是：(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；(2)建模：将文字语言转化成数学
11、语言，用数学知识建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得到数学结论；(4)还原：将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义.,(2009湖北)(本小题满分12分)围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图所示已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)(1)将y表示为x的函数；(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用,【考卷实录】,解答：(1)如图，设矩形的另一边长为a m，则y45x180(x2)1802a225x360a360，由已知xa360，得a.所以y225x 360(x0)(2)x0，225x 2 10 800.y225x 36010 440.当且仅当225x 时，等号成立即当x24 m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10 440元,【答题模板】,这是一道利用函数求最值的问题，转化为yx(a0)类型的函数，在利用均值不等式ab2 时易丢掉倍数2；可将等式成立的条件x24进行检检验，避免出现类似的错误.,【分析点评】,点击此处进入 作业手册,
