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1、1,第二章 投影变换,2,2.1 问题的提出,2.2 选择新投影面的原则,2.3 点的投影变换规律,2.4 四个基本作图问题,内 容,3,2.1 问题的提出,当几何元素相对于投影面处于特殊位置 时，其投影往往能直接反映交点、交线 的位置或图形实形、线段实长。,定位问题,度量问题,4,几何元素处于一般位置时怎么办？,几何元素不动变换投影面位置,投影变换目的,改变几何元素与投影面之间的相对位置，使之平行或垂直投影面。借助于改变后的辅助投影，而简化解题。,投影面不动几何元素绕某轴旋转,换面法,旋转法,5,2.2 选择新投影面的原则,如何求线段AB的实长？,当P1/AB时a1b1=AB,V,H,X,P
2、1,X1,a1,b1,6,选择新投影面的原则,新投影面必对空间几何元素处于有利于解题的位置,新投影面必须垂直原投影面体系中的某一投影面以构成新的相互垂直的投影面体系,7,2.3 点的投影变换规律,X1,ax1,a1,X1,H,P1,a1,ax1,点到H面之距,8,点的投影变换规律,在新投影面体系中，点的一对投影连线垂直于新投影轴,新投影到新轴之距=被代替的投影到原投影轴之距,9,点的二次换面,X1,X2,H,P1,P1,P2,a1,a2,注意:,必须依次更换投影面,10,2.4 四个基本作图问题,将一般位置直线变换成投影面平行线,例 求AB实长及对H面倾角,X1,a1,b1,实长,H,P1,空
3、间分析,当AB为新投影面的平行线时，其投影直接反映实长,更换哪个投影面？,V,因为要求（与H面倾角），则必须保留H面而使AB平行P1,如何确定X1轴 的方向,投影分析,X1/ab,一次换面,11,将一般位置直线变换成投影面垂直线,V,H,X,X1,X2,B,a,b,a,b,b1,a1,P2,a2b2,A,空间分析,将一般位置直线投影面垂直线更换一次投影面不能实现,将投影面平行线更换一次投影面投影面垂直线,两次换面,将一般位置直线 投影面平行线,将投影面平行线 投影面垂直线,12,X1,X2,a2 b2,a1,b1,X1/ab,X2 a1b1,作图,H,P1,P1,P2,将一般位置直线 投影面平
4、行线,将投影面平行线 投影面垂直线,将一般位置线变换成投影面垂直线,注意新投影轴方向的确定,13,过点K作直线与AB垂直相交并求其实长,X1,b1,k1,X2,l1,l,l,X1/ab,k1l1/X2,H,P1,P1,P2,空间分析,在什么情况下所求线段的投影直接反映其实长?,AB PKL/Pkl=KL,如何将AB变换成投影面垂直线？,/,a1,例 求点K到直线AB之距,投影分析,如何确定新投影轴的方向,将AB/线,将AB线,如何返回原投影面体系,X2a1b1,a2b2,l2,k2,14,将一般位置平面变换成投影面垂直面,必须使平面内某一直线成为该投影面的垂直线,取平面内的投影面平行线,X1,
5、X1方向如何确定,X1 bm,m,m,a1,c1,b1,H,P1,一次换面,15,将一般位置平面变换成投影面平行面,例 求ABC实形,空间分析,平面相对于投影面处于何种位置时其投影直接反映实形,投影面平行面,先将平面变换成投影面垂直面,X1,H,P1,a1,a2,b1,b2,c1,c2,X2,P1,P2,1,1,X1 b1,再将平面变换成投影面平行面,X2/c1b1a1,实形,两次换面,16,应用举例,例1 ABC与ABD夹角为60,求ad,bd,c1,a1,b1,X1,a2 b2,H,P1,d1,d,X2,P1,P2,空间分析,当两平面的交线AB垂直于新投影面时它们在该投影面上的投影反映其夹
6、角实大,将AB 投影面垂直线,c2,d2,60,投影分析,将AB 投影面平行线新投影轴 X1/ab,将AB 投影面垂直线新投影轴X2a1b1,17,例2 过点A作直线与BC相交成60,X1,b1,c1,a1,X2,a2,b2,c2,m2,n2,m1,n1,m,m,n,n,H,P1,P1,P2,空间分析,在实形图形上直接反映直线夹角大小，此题实质是求实形问题,投影分析,将平面 投影面垂直面 X1 平面内一投影面平行线,将平面 投影面平行面 X2/平面的积聚性投影,返回到原投影面体系,18,小 结,选择新投影面的原则,点的一次换面的作图,四个基本作图问题：,将一般位置平面变换成投影面平行面，两次,将一般位置平面变换成投影面垂直面,将一般位置直线变换成投影面垂直线,将一般位置直线变换成投影面平行线,一次,将一般位置直线变换成投影面垂直线，两次,将一般位置平面变换成投影面垂直面，一次,19,解题思路,空间分析 建立所求结果的空间几何模型,寻找达到此结果的途经 分析如何从原投影面体系变换到新投影面体系(需几次变换）,投影分析 每一次变换中新投影轴的方向如何确定,采用反推法,
