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1、硕士专业学位研究生入学资格考试数学复习,河海大学理学院（210098）袁永生 教授,对新考试特点的分析,GCT-ME重在考查获取知识的能力；重在直观分析、判断综合；考查的不是难度、深度，而是能力。（以下来自考试大纲）GCT-ME 考试数学基础能力测试宗旨：考查考生所具有的数学方面的基础知识、基本思想方法，及使用所掌握数学知识和方法分析问题和解决问题的能力。试题结构：25道单项选择题，每题4分，时间为45分钟。内容为算术、代数、几何与三角、一元微积分、线性代数五部分（各5道题）。包括审题、涂答案和分析计算在内，平均每题2分钟不到，少量题上最长不宜超过3分钟。命题范围：算术、代数、几何与三角、一元
2、微积分、线性代数的基础知识，及其在日常生活、科学研究和实际工程中的应用，要求考生对所列数学知识有较深刻的理性认识。基础知识、思维方式及应用（思维方式：理性直观）,应有的基本对策,由于考查是在基础知识上的直观分析、判断综合；而且选择题适宜考查基本概念及基本计算。因此复习中应注意：1、强调“正确”理解基本概念，熟练基本运算。注意概念、性质、方法、结论的变化和综合；2、强调理性直观的分析问题能力，尤其是通过图形的直观分析能力；3、注意以前有关学习中容易错，不是很清楚的地方；应试基础：以不变应万变(不变 熟练的双基、稳定的心态);应试要领：速度；应试方法：题目读完后，先看一下四个答案的特征(因最终要选
3、);能画图的尽量画个准确的图;画不出图，四答案也不能帮助分析的，注意相关概念本质和结论。这些都不行，别忘记再看一遍已知。注意应对选择题的多种有效方法等等。课后：熟悉相关概念的“正确”理解和强调的方法.,第四部分 一元函数微积分,第一节 函数及其图形考试要求 集合，映射，函数，函数的应用,内容综述 函数及有关概念 1、定义：设A，B是两个实数域 R 的非空子集，则A到B的对应 f：AB 称为A到B的函数。通常记作y=f(x),xA，或 相关概念：定义域、自变量、因变量、基本初等函数(幂、指、对、三角、反三角）、初等函数、分段函数（不属初等函数）。注意:定义域及对应法则是两个基本要素：x本身不一定
4、是数，也可以是函数、定积分、行列式。x本身不一定是一个字母，也可以是复杂的形式；确定任何函数的函数值，都必须先确定自变量的值。2、函数的性质：有界，单调，奇偶，周期,例1 已知 f(x+1)=x2+1，求f(x)的表达式例2 已知例3 设函数f(x)的定义域是，且f(x)的图形 关于直线x=a与x=b对称(ab)，求f(x)的周期。例4 研究下列函数的奇偶性：(1)(2)例5 已知函数f(x)的周期是2，求函数 的周期。,第二节 数列与函数的极限,考试要求 数列、函数的极限，极限的运算，极限存在准则，两个重要极限，连续，无穷大、无穷小。,1、数列与函数极限定义；2、极限性质；若数列(或函数)极
5、限存在(收敛),则其极限唯一;若数列(或函数)极限存在(收敛),则其极限有界;3、极限运算；4、两个重要极限;,特别（注意核心：(1+无穷小)无穷大，且三种形式对应.)（注意形式对应）,内容综述,5、无穷大量与无穷小量的定义与性质：定义：时，称 f(x)在 时为无穷小量；若 时，称 f(x)在 时为无穷大量；注意：1都是指函数值是否具有某种趋势:能越来越接近 0(或)，是变化的量；2区别无穷大量与无界量.如性质：有限个无穷小量的代数和、积仍为无穷 小；无穷小量与有界量的积为无穷小。,6、无穷小量的比较及等价无穷小的替换；定义：注意条件x*,则(注意分子 分母整体替换),7、函数连续的定义：若，
6、则称y=f(x)在点x0连续。即f(x)在x0点连续“连续”的核心要素：f(x0)存在;三者相等.8、连续函数在闭区间上的性质(1)闭区间上连续，则闭区间上有界;(2)闭区间上连续，则闭区间上有最大、最小值;(3)闭区间a,b上连续,f(a)f(b),对f(a)，f(b)之间任一数，有c，使f(c)=.介值定理(4)闭区间a,b上连续,f(a)f(b)0,c(a,b),使f(c)=0.,例1 下列极限正确的是 A.，02；C.f(1)=4 D.在x=1附近()，f(x)5.例4 已知函数 在上(-,+)连续，求a，b的值。,例4*设，在(-,+)上连续，则a=A.ln2 B.0 C.2 D.任
7、意实数 例5 设 x0 时，是比 高阶的无穷小，其中a，b，c是常数，则a=,b=,c=?例6 的草图是：A B C D,第三节 导数与微分,考试要求 导数的概念，求导法则及基本求导公式，高阶导数，微分。,内容综述,1、导数的定义记号：y=f(x)在x0点的导数，记为含义：(x只是形式,是无穷小量,分子与分母一致,趋于)注：某点x0点处可导（有导数）的要素 f(x0)存在；f(x)在x0点的左导数，右导数 存在且相等.2、导数的几何意义:曲线上该点切线斜率、变化速度,3、导数公式及导数四则运算；4、求导法则（1）复合函数求导：思路：拆分成若干层，使每一层能直接使用基本导数公式或四则运算法则如：
8、（2）隐函数导数x与y的对应关系由F(x,y)=0确定（隐函数）。如 思路：一个变量作自变量，其余看成自变量的函数5、高阶导数；,6、微分 定义：x，xx f(x)的定义域，相应函数的改变量有，y=f(xx)-f(x)=Ax o(x)其中A是不依赖于x的常数，o(x)是比x高阶的无穷小量，Ax 称为函数y=f(x)在点x处相应于x的微分，记为dy dy=f(x)x=f(x)dx 微分的几何意义 函数在某点的微分，是函数对应曲线上该点切线上相应于x的增量,例1 f(x)在 可导，求下列极限（1）（2）例2 将(a)(d)中的函数与图中IIV的导函数图形匹配a b c dI II III IV,例
9、3 f(x)在(-,+)内可导，f(-x)=-f(x)，则 A.k B.-k C.0 D.例4 确定了y=y(x)，求 在x=0处的切线和法线方程。例5 可导偶函数的导函数是奇函数；可导奇函数的导函数是偶函数；周期为T的可导函数的导函数是以T为周期的函数。,第四节 微分中值定理与导数应用,考试要求 中值定理，导数应用。,内容综述,1、中值定理（理论性强，了解）（图示）：罗尔定理：f(x)在a,b上连续，(a,b)上可导，且 f(a)=f(b)，则有(a,b),使 f()=0.即在(a，b)中有点的切线平行于x轴。拉格朗日中值定理：f(x)在a,b上连续,(a,b)上可导,则有(a,b),使f(
10、b)f(a)=f()(ba)即此时(a，b)中有点的斜率等于直线AB的斜率。,2、导数的应用（重要）洛必达法则：作用：不定式求极限方法（不定式：，或可化为这两种型式的极限计算问题）条件：1f(x),g(x)极限点附近存在;2g(x)0;3 存在.法则：注意：1注意先简化再求导，及边简化边求导;2整个分式是，先化成单一分式.,函数的单调性与极值点：1单调性定义：单增:x1 f(x0),则x0是极小值点.极值点特性：双侧，局部 极值点来源：导数为零的点,或导数不存在的点.,极值点判定:.f(x)在x0的空心领域内可导时x0，x x0，f(x)x0，f(x)0，x0为极小值点.x0两侧 f(x)同号
11、，x0不是极值点。.f(x)在x0处有二阶导数,f(x)=0,f(x)0 x0附近，f(x)0，x0为极小值点。（记：大小，小大）,函数的凹凸性与拐点：1凹凸性定义：曲线上切线与曲线的位置.凹凸性判定:f(x)在区间I上二阶可导,则 f(x)0，f(x)在I上凹的;f(x)0，f(x)在I上凸的.（记：大小凹，小大凸）2拐点定义：连续曲线上凹凸部分的分界点.拐点判定：f(x)=0，f(x)在x0两侧异号.导数及其应用总结概括：,例1 求（注意边化简边使用洛必达法则）例2 求（通分化成单一分式后再求，自课后做）例3 设 f(x)二阶可导，且，则当时有 A、B、C、D、例4 在区间 内，方程(A)
12、无实根(B)有且仅有一个实根(C)有且仅有两个实根(B)有无穷多个实根例5 下图是关于汽车位移函数的图像，利用图像，回答下列问题 a)汽车的初始速度?b)汽车在B，C两点哪个速度更快?c)汽车在A，B，C三点速度是增快还是减慢?d)在D，E两点之间汽车的运动状况?例6 设函数f(x)在(-,+)内连续，其导数的图形如图，则f(x)有 A.一个极小值点和两个极大值点 B.两个极小值点和一个极大值点 C.两个极小值点和两个极大值点 D.三个极小值点和一个极大值点,第五节 积分,考试要求 不定积分和定积分的概念，牛顿莱布尼茨公式，不定积分和定积分的计算，定积分的几何应用。,内容综述,一、不定积分 1
13、、原函数、不定积分的概念原函数：若，F(x)是f(x)的原函数(与导函数是相对概念，成对出现）。不定积分：f(x)的全体原函数F(x)+C，称为f(x)的不定积分。记号，即注意：上式说明右边是f(x)的原函数，其导函数为f(x)。如 2、不定积分基本计算及性质：公式112；性质。3、不定积分的换元法：（第一换元）凑微分法：被积函数中的导函数从原函数放到微分号后面。即（第二换元）变量代换法：可导，则 4、不定积分的分部积分法（容易求，新积分容易积）。,二、定积分 1、关于定义：记号：含义：本质：定积分是和的极限,是一个只与区间a,b及函数 f(x)有关的(变化的)数,与积分变量的形式x无关；a,
14、b确定 f(x)已知时,定限积分是常数.可积的必要条件：f(x)在区间a,b上有界.可积的充分条件：f(x)在区间a,b上连续.2、定积分的几何意义：曲线f(x),x轴,x=a,x=b所围面积的代数和.,3、定积分性质：4、变限定积分公式：5、定积分计算：几个重要结论：,牛莱公式：F(x)是f(x)的原函数,则 变量替换法：积分限变化规则：上限对上限，下限对下限，不论大小.分部积分法：6、定积分的几何应用,例1 求；例2 求；例3 求例4 求导数例5 求例6 设，求 和 f(x)例7 设g(x)0，它是可微函数 f(x)的反函数(其中x0),且恒有 则函数 f(x)=A.B.C.-1 D.例8 设f(x)和g(x)在(-,+)上可导，且f(x)g(-x)B.C.D.,例9 设，则（A）I0(B)I=0(C)I=(D)例10 f(x)，g(x)是连续函数，且，（ab），则必有（A）曲线y=f(x)与y=g(x)在a，b上重合；（B）曲线y=f(x)与y=g(x)仅在x=a与x=b上相交；（C）曲线y=f(x)与y=g(x)在a，b上至少有一个交点；（D）不能确定曲线y=f(x)与y=g(x)在a，b上是否有交点。例11 已知，求a，b的值。,
