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1、统计量的分布,随机样本和统计量,统计推断问题：电子产品的寿命个体：组成总体的单元-随机变量总体：研究对象的全体-随机变量的全体-分布函数样本：为同一分布函数F的相互独立的随机变量，称其为从分布函数得到容量为n的简单随机样本，简称样本。,统计量 是样本 的不含任何未知数的函数，它是一个随机变量。,统计量的分布称为抽样分布。,由于正态总体是最常见的总体，因此主要讨论正态总体下的抽样分布。,由于这些抽样分布的论证要用到较多的数学知识，故在本节中，主要给出有关结论。,概率密度函数,定义,设X为一随机变量，若存在非负实函数 f(x),使对任意实数 a b，有,则称X为连续型随机变量，f(x)称为X 的概
2、率密度函数,简称概率密度或密度函数.,Probability density function p.d.f.,分布函数,密度函数在区间上的积分=随机变量在区间上取值的概率,概率密度函数的性质,非负性,规范性,正态分布 Normal Distribution,正态分布的密度函数的性质与图形,关于 x=对称,（-，）升，（，+）降,单调性,对称性,拐点,中间高两边低,，对密度曲线的影响,随机变量的分布函数,设X为一随机变量,则对任意实数x，(Xx)是一个随机事件，称,为随机变量X的分布函数,F(x)是一个普通的函数！,Distribution Function,分布函数的定义,引进分布函数F(x)
3、后，事件的概率都可以用F(x)的函数值来表示。,分布函数表示事件的概率,P（Xb）=F(b),P（aXb）=F(b)F(a),P（Xb）=1 P（Xb）=1-F(b),P（aXb）=P(X b)-P(Xa)=F(b)-F(a),密度函数和分布函数的关系,积分关系,导数关系,正态分布的分布函数,标准正态分布,定义,X N（0，1）分布称为标准正态分布,密度函数,分布函数,Standard Normal distribution,偶函数,标准正态分布的概率计算,分布函数,X,-x,标准正态分布的概率计算,公式,查表,例,一般正态分布的标准化,定理,查标准正态分布表,概率计算,一般正态分布的区间概率
4、,。,。,。,设XN（1，4），求 P(0X1.6),解,例,正态分布的实际应用,分析,然后根据录取率或者分数线确定能否录取,解 成绩X服从,录取率为,可得,得,查表得,解,查表得,.,解得,故,设录取的最低分为,则应有,某人78分，可被录取。,X的取值几乎都落入以为中心，以3为半径的区间内。这是因为：,3准则,是小概率事件,概率分布的分位数(分位点),如图.,PXx=,双侧 分位数或双侧临界值的特例,当X的分布关于y轴对称时，,则称 为X分布的双侧分位数或双侧临界值.,如图.,若存在 使,标准正态分布的分位数,在实际问题中，常取0.1、0.05、0.01.,常用到下面几个临界值：,u0.05
5、=1.645，u0.01=2.326 u0.05/2=1.96，u0.01/2=2.575,数理统计中常用的分布除正态分布外，还有三个非常有用的连续型分布，即,数理统计的三大分布(都是连续型).,它们都与正态分布有密切的联系.,！,在本节中特别要求掌握对正态分布、2分布、t分布、F分布的一些结论的熟练运用.它们是后面各章的基础.,分布,定义 设总体，是 的一个样本,则称统计量 服从自由度为n的 分布，记作,自由度是指独立随机变量的个数，,分布的密度函数为,其图形随自由度的不同而有所改变.,2分布表,分布密度函数的图形,满足,的数 为 2分布的上分位数或上侧临界值，,其几何意义见图所示.,其中f
6、(y)是 2-分布的概率密度.,显然，在自由度n取定以后，的值只与有关.,例如，当n=21，=0.05时，由附表可查得,32.67,即,2分布的上分位数,2分布的双侧分位数,把满足,的数,称为 2分布的双侧分位数,或双侧临界值.,见图.,f(x),x,O,显然，,为 2分布的上 分位数.,为 2分布的上 分位数.,如当n=8,=0.05时，,2.18,17.53,2分布的数学期望与方差,设 2 2(n)，则E(2)=n，D(2)=2n.,2分布的可加性,设,则,性质 设(X1，X2，Xn)为取自正态总体XN(，2)的样本，则,证明,由已知，有,XiN(，2)且X1，X2，Xn相互独立，,则,由
7、定义得,定理 设(X1，X2，Xn)为来自正态总体 XN(，2)的样本，则,(1)样本均值 与样本方差S 2相互独立；,(1)式的自由度为什么是n-1？,从表面上看，,但实际上它们不是独立的，,它们之间有一种线性约束关系：,=0,这表明，当这个n个正态随机变量中有n-1个取值给定时，剩下的一个的取值就跟着唯一确定了，故在这n项平方和中只有n-1项是独立的.所以(1)式的自由度是n-1.,定理 设(X1，X2，Xn)为来自正态总体 XN(，2)的样本，则,(1)样本均值 与样本方差S 2相互独立；,与以下补充性质的结论比较：,性质 设(X1，X2，Xn)为取自正态总体XN(，2)的样本，则,t分
8、布,定义:设随机变量XN(0，1)，Y 2(n)，且X与Y相互独立，则称统计量,服从自由度为n的t分布或学生氏分布，,记作,t分布的概率密度函数为,T t(n).,其形状类似标准正态分布的概率密度的图形.当n较大时，t分布近似于标准正态分布.,当n较大时，t分布近似于标准正态分布.,一般说来，当n30时，t分布与标准正态分布N(0，1)就非常接近.,但对较小的n值，t分布与标准正态分布之间有较大差异.且P|T|t0P|X|t0，其中X N(0，1)，即在t分布的尾部比在标准正态分布的尾部有着更大的概率.,t 分布的数学期望与方差,设Tt(n)，则E(T)=0，D(T)=,定理2,设(X1，X2
9、，Xn)为来自正态总体 XN(，2)的样本，则统计量,证,由定义得,定理3 设(X1，X2，Xn1)和(Y1，Y2，Yn2)分别是来自正态总体N(1，2)和N(2，2)的样本，且它们相互独立，则统计量,其中,、,分别为两总体的样本方差.,t 分布的上分位数,对于给定的(0 1)，称满足条件,的数t(n)为t分布的上分位数或上侧临界值，,其几何意义见图.,t 分布的双侧分位数,由于t分布的对称性，称满足条件,的数t/2(n)为t分布的双侧分位数或双侧临界值，,其几何意义如图所示.,在附表中给出了t分布的临界值表.,例如，当n=15，=0.05时，查t分布表得，,t0.05(15)=t0.05/2
10、(15)=,1.753,2.131,其中t0.05/2(15)由Pt(15)t0.025(15)=0.025查得.,但当n45时，如无详细表格可查，可以用标准正态分布代替t分布查t(n)的值.,即,t(n)u，n45.,一般的t分布临界值表中，详列至n=30，当n30就用标准正态分布N(0,1)来近似.,F分布,服从第一自由度为n1，第二自由度为n2的F分布，,概率密度函数,其中,定义 设随机变量X 2(n1)、Y 2(n2)，且与相互独立，则称随机变量,F 分布的上分位数,对于给定的(0 1)，称满足条件,的数F(n1，n2)为F分布的上分位数或上侧临界值，,其几何意义如图所示.,其中f(y
11、)是F分布的概率密度.,F 分布的上分位数,F(n1,n2)的值可由F 分布表查得.,附表=0.1、=0.05、=0.01给出了F分布的上分位数.,当时n1=2,n2=18时，有,F0.01(2,18)=,6.01,在附表中所列的值都比较小，当 较大时，可用下面公式,查表时应先找到相应的值的表.,例如，,0.166,F 分布的双侧分位数,称满足条件,见图.,显然，,为F分布的上 分位数；,为F分布的上 分位数；,为正态总体 的样本容量和样本方差；且两个样本相互独立，则统计量,定理 设 为正态总体 的样本容量和样本方差；,证明,由已知条件知,且相互独立，,由F分布的定义有,例1 设总体XN(0,
12、1)，X1，X2，Xn为简单随机样本，试问下列统计量各服从什么分布？,解,(1),因为XiN(0,1)，i=1,2,n.,所以,X1-X2 N(0,2)，,故,t(2).,例1 设总体XN(0,1)，X1，X2，Xn为简单随机样本，试问下列统计量各服从什么分布？,续解,(2),因为X1N(0,1)，,故,t(n-1).,例1 设总体XN(0,1)，X1，X2，Xn为简单随机样本，试问下列统计量各服从什么分布？,续解,(3),因为,所以,F(3，n-3).,例2 若Tt(n)，问T2服从什么分布？,解,因为Tt(n)，,可以认为,其中UN(0,1)，V2(n)，,U22(1)，,F(1,n).,例3 设总体XN(,42)，X1，X2，X10是n=10简单随机样本，S2为样本方差，已知PS2=0.1,求.,解,因为n=10，n-1=9，2=42，,所以,2(9).,又,PS2=,=0.1，,所以,14.684.,故,14.684x,26.105,
