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1、15多元复合函数的导数,一、链式法则,则复合函数 z=f(u(x),v(x)在点 x 处可导.,且,(公式也称为 链式法则),证:,设 u=u(x),v=v(x)在点 x 处可导.而 z=f(u,v)在 x 对应的点(u,v)可微.,只要证,定理1,又因 z 是 u,v 的函数,进而得到z.,因 z=f(u,v)在(u,v)可微.,给 x 以改变量x,因u,v 是x的函数,可得u,v 的改变量u,v.,同除以 x 0,得,令 x 0,得,从而,=0,故,注意到当 x 0时,u,v 趋于0.,无穷小乘有界量,用同样的方法,可将该公式推广到中间变量为3个,4个,等情形.,比如,设 z=f(u,v,
2、w),u=u(x),v=v(x),w=w(x),满足定理条件.则,例1.设 z=tg(u+v),u=x2,v=lnx,解:(1)z=tg(x2+lnx),(2),z=sec2(x2+lnx),若u,v是 x,y 的二元函数,u=u(x,y),v=v(x,y),此时z=f(u,v)=f(u(x,y),v(x,y)是x,y的二元函数.如何求 z 对x,y 的偏导数?,由上述公式.有,1,若 z=f(u,v),u=u(x,y),v=v(x,y)满足定理条件.则复合函数 z=f(u(x,y),v(x,y)的偏导数为,(只须将定理1中导数符号改为偏导符号),2,公式 1可推广到中间变量多于2个的情形.,
3、如,设 z=f(u,v,w),u=u(x,y),v=v(x,y),w=w(x,y),则,3 若在 2中,u=u(x,y,t),v=v(x,y,t),w=w(x,y,t).问,例2.,解:(1)可将u,v代入后直接求偏导.,(2)用链式法则(两个中间变量),故,例3.,解:此例与上两例有区别.这里函数 f 的表达式未给出,只能用链式法则求偏导.,引进中间变量(引进几个中间变量?),记 u=x2 y2,v=xy.从而 z=f(u,v),由链式法则,得,z=f(u,v),u=x2 y2,v=xy.,记,等等.,引进记号,设 z=f(u,v),例4.,解:引进3个中间变量.记 u=x,v=xy,w=x
4、+y.则 z=f(u,v,w).,有,1.在这一类问题中为何引进中间变量?,注,从而,这是否对?为什么?,对 u(也就是 x)求偏导.两者不同.,例.设 z=f(x,xy)=x+xy,记 u=x,v=xy,有 z=u+v.,3.若 z=f(u,v),u=u(x,y),v=v(x,y),则 z 通过 u,v 成为 x,y 的二元复合函数.,从而是 x,y 的二元复合函数.,例5.,证:,从而,=x,例6.若f(x,y,z)恒满足关系式 f(tx,ty,tz)=tk f(x,y,z).则称它为 k 次 齐次函数.证明 k 次齐次函数满足,证:等式 f(tx,ty,tz)=tk f(x,y,z).,
5、两边对 t 求偏导.,右边对 t 求偏导,即,记 u=tx,v=ty,w=tz,则 f(tx,ty,tz)=f(u,v,w).,即,同乘以 t,得,例7.设 z=f(u,v),f C1,而 u=xcosy,v=x siny.,解:这是关于链式公式的逆问题.,链式公式,代入链式公式,得,系数行列式,=x 0,从而,为未知量的二元一次方程组.常可通过解线性方程组的方法求,1.本例说明二元复合函数的链式公式可看作以,注,2.对本例而言,若还要求出 z 的函数表达式,如何求?,3.设 z=f(x,y),则在区域 D 内,z=C(常数).(自证),4.若 z=f(u,v),u=u(x,y),v=v(x,
6、y),x=x(r,),y=y(r,).,易见z 是 r,的复合函数.,因此,又因u,v 都是 r,的复合函数.,因此,设 z=f(u,v)可微,当 u,v 为自变量时,有,若 u,v 不是自变量,而是中间变量,是否仍有这一形式?,设 u=u(x,y),v=v(x,y)均可微,则,z=f(u(x,y),v(x,y),二、全微分的形式不变性,由链式法则,代入,z=f(u(x,y),v(x,y),即,不论u,v是自变量还是中间变量,z=f(u,v)的全微分的形式不变.,例8.用全微分形式不变性求,解:记 u=xy,从而 z=f(u,v).,从而,16隐函数的导数,上期已讨论了求隐函数的导数问题.即,
7、设方程 F(x,y)=0.求由该方程所确定的函数 y=f(x)的导数.方法是:方程两边对 x 求导.注意 y 是 x 的函数,然后解出 y.,(1)是否任何一个二元方程 F(x,y)=0.都确定了y 是 x 的函数(单值)?,如 x2+y2=1.,什么条件下确定 y=f(x)?,(2)若方程确定y=f(x).它是否可导?,给出一般的求导公式.,(3)三元(以上)方程F(x,y,z)=0.的情形怎样?,留下了问题.,设函数F(x,y)在点 X0=(x0,y0)的邻域U(X0)内有连续偏导数.,考虑方程F(x,y)=0.,且F(x0,y0)=0,则方程 F(x,y)=0在点 X0=(x0,y0)的
8、某邻域内唯一确定一个有连续导数的(单值)函数 y=f(x),它满足 y0=f(x0).且,证略,一、一个方程的情形,(隐函数存在定理).,定理1,对公式的推导作些说明.,设方程 F(x,y)=0中F(x,y)满足定理条件.从而方程在 X0 的某邻域内确定函数 y=f(x).,代入方程,得 F(x,f(x)0.,上式两边对 x 求导(左端是 x 的复合函数).,得,例1.验证方程 x2+y2 1=0在点 X0=(0,1)的某邻域内满足定理1的三个条件.从而在X0=(0,1)的某邻域内唯一确定满足.当x=0时,y=1的连续可导函数 y=f(x),解:记 F(x,y)=x2+y2 1,(1),(2)
9、F(0,1)=0,(3),由定理1知,方程在X0=(0,1)的某邻域内唯一确定满足当x=0时,y=1的连续可导函数 y=f(x),法1.x2+y2=1,两边对 x 求导,y 是 x 的函数,2x+2y y=0,法2.F(x,y)=x2+y2 1,定理1可推广到方程中有多个变量的情形.,考虑方程 F(x,y,z)=0,设三元函数 F(x,y,z)在 X0=(x0,y0,z0)的邻域 U(X0)内有连续编导，F(x0,y0,z0)=0,Fz(x0,y0,z0)0,则在 X0 的某邻域内唯一确定一个有连续偏导的函数 z=f(x,y),满足 z0=f(x0,y0),且,定理1,例2.,解：方法1.记
10、F(x,y,z)=sin(x3z)2y z,有 Fx=cos(x 3z),故,Fy=2,Fz=3cos(x 3z)1,方法2：sin(x3z)=2y+z,两边对 x 求偏导，z 是 x 的函数，y看作常数.,解得:,类似得,例3.设方程F(x2+y2+z2,sinxy)=0,FC1,求,解：方法1.(公式法):方程左边是x,y,z的复合函数，用链式法则求Fx,Fy,Fz.,Fx=F 12x+F 2 cosxy y=2xF 1+ycosxy F 2,从而,Fy=F 12y+F 2 cosxy x=2yF 1+xcosxy F 2,Fz=F 12z+F 2 0=2zF 1,方法2.方程 F(x2+
11、y2+z2,sinxy)=0两边对 x 求偏导.其中 z 是 x 的函数,y看作常量.,F 1(2x+2z zx)+F2 cosxy y=0,解得:,例4.设 z=z(x,y)是由方程 x+y+z=(x2+y2+z2)所确定的函数,其中 C1，证明 z=z(x,y)满足,证：记 F(x,y,z)=x+y+z(x2+y2+z2),u=x2+y2+z2,有 F x=1 u 2x=1 2x u,F y=12y u,F z=12z u,故,从而,设有方程组,F(x,y,u,v)=0,G(x,y,u,v)=0,四个未知量，两个方程,若将 x,y 看作常数,则方程组成为两个未知量,两个方程情形.,如果能从
12、中解出u,v,从而这个方程组确定了 两个二元函数 u=u(x,y),v=v(x,y)，称为由该方程组所确定的二元隐函数.,二、方组的情形,(1)当F,G满足什么条件时，方程组确定了隐函数 u,v?,(2)为何求隐函数u=u(x,y),v=v(x,y)的偏导？,问题,记号：用,即,称为函数F,G关于 u,v的雅可比行列式.,方程组,G(x,y,u,v)=0,F(x,y,u,v)=0,(1),设X0=(x0,y0,u0,v0)R4,若,1)F(x,y,u,v),G(x,y,u,v)在U(X0)有连续偏导,2)F(x0,y0,u0,v0)=G(x0,y0,u0,v0)=0,3)雅可比行列式,则方程组
13、(1)唯一确定两个二元函数 u=u(x,y)，v=v(x,y)，,满足 u0=u(x0,y0)，v0=v(x0,y0).且,定理2,证：(略),公式推导说明：,设F,G满足定理2条件，从而存在隐函数u=u(x,y),v=v(x,y),代入方程组(1),F(x,y,u(x,y),v(x,y)0,G(x,y,u(x,y),v(x,y)0,方程两边对 x 求编导，得,F x+F u+F v=0,G x+G u+G v=0,看作未知量，解二元线性方程组.,由克莱姆法则.,F(x,y,u(x,y),v(x,y)0,G(x,y,u(x,y),v(x,y)0,F x+F u+F v=0,G x+G u+G v=0,当,有,有,同理可得,F(x,y,u(x,y),v(x,y)0,G(x,y,u(x,y),v(x,y)0,两边对 y 求偏导，得,再解出,例5.,解：,注意u,v 都是 x 的函数，y 看作常数.,方程两边对 x 求偏导，,得,即,(1)(2),由于系数行列式,该方程组有唯一解.,解得,
