平面问题的直角坐标解答.ppt

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1、第三章 平面问题的直角坐标解答,要点,用逆解法、半逆解法求解平面弹性力学问题。,3-1 多项式解答,3-2 位移分量的求出,3-3 简支梁受均布载荷,3-4 楔形体受重力和液体压力,3-5 级数式解答,3-6 简支梁受任意横向载荷,主 要 内 容,3-1 多项式解答,适用性：,由一些直线边界构成的弹性体。,目的：,考察一些简单多项式函数作为应力函数(x,y)，能解决什么样的力学问题。,逆解法,其中：a、b、c 为待定系数。,检验(x,y)是否满足双调和方程：,显然(x,y)满足双调和方程，因而可作为应力函数。,（1）,1.一次多项式,（2）,（3）,对应的应力分量：,若体力：X=Y=0，则有：

2、,结论1：,（1）,（2）,一次多项式对应于无体力和无应力状态；,在该函数(x,y)上加上或减去一个一次多项式，对应力无影响。,2.二次多项式,（1）,其中：a、b、c 为待定系数。,(假定：X=Y=0;a 0,b 0,c 0),检验(x,y)是否满足双调和方程，显然有,（2）,(可作为应力函数),（3）,由式（2-26）计算应力分量：,2c,2c,2a,2a,结论2：,二次多项式对应于均匀应力分布。,试求图示板的应力函数。,例：,3.三次多项式,（1）,其中:a、b、c、d 为待定系数。,检验(x,y)是否满足双调和方程，显然有,（2）,(可作为应力函数),(假定：X=Y=0),（3）,由式

3、（2-26）计算应力分量：,结论3：,三次多项式对应于线性应力分布。,讨论：,可算得：,图示梁对应的边界条件：,可见：,对应于矩形截面梁的纯弯曲问题应力分布。,常数 d 与弯矩 M 的关系：,(1),由梁端部的边界条件：,(2),可见：此结果与材力中结果相同，,说明材力中纯弯曲梁的应力结果是正确的。,说明：,(1),组成梁端力偶 M 的面力须线性分布，且中心处为零，结果才是精确的。,(2),若按其它形式分布，如：,则此结果不精确，有误差；,但按圣维南原理，仅在两端误差较大，离端部较远处误差较小。,(3),当 l 远大于 h 时，误差较小；反之误差较大。,4.四次多项式,（1）,检验(x,y)是

4、否满足双调和方程,（2）,代入：,得,可见，对于函数：,其待定系数，须满足下述关系才能作为应函数：,（3）,应力分量：,应力分量为 x、y 的二次函数。,（4）,特例：,（须满足：a+e=0）,总结：,（多项式应力函数 的性质）,（1）,多项式次数 n 4 时，则系数可以任意选取，总可满足。,多项式次数 n 4 时，则系数须满足一定条件，才能满足。,多项式次数 n 越高，则系数间需满足的条件越多。,（2）,一次多项式，对应于无体力和无应力状态；任意应力函数(x,y)上加上或减去一个一次多项式，对应力无影响。,二次多项式，对应均匀应力状态，即全部应力为常量；三次多项式，对应于线性分布应力。,（3

5、）,（4）,用多项式构造应力函数(x,y)的方法 逆解法（只能解决简单直线应力边界问题）。,按应力求解平面问题，其基本未知量为：，本节说明如何由 求出形变分量、位移分量？,问题：,3-2 位移分量的求出,以纯弯曲梁为例，说明如何由 求出形变分量、位移分量？,1.形变分量与位移分量,由前节可知，其应力分量为：,平面应力情况下的物理方程：,（1）形变分量,(a),将式（a）代入得：,(b),（2）位移分量,将式（b）代入几何方程得：,(c),将式（c）前两式积分，得：,(d),将式(d)代入(c)中第三式，得：,整理得：,（仅为 x 的函数）,（仅为 y 的函数）,要使上式成立，须有,(e),式中

6、：为常数。,积分上式，得,将上式代入式（d），得,(f),（1）,(f),讨论：,式中：u0、v0、由位移边界条件确定。,当 x=x0=常数,u 关于铅垂方向的变化率，即铅垂方向线段的转角。,说明：同一截面上的各铅垂线段转角相同。,横截面保持平面,材力中“平面保持平面”的假设成立。,（2）,说明：在微小位移下，梁纵向纤维的曲率相同。即,材料力学中挠曲线微分方程,2.位移边界条件的利用,（1）两端简支,其边界条件：,将其代入(f)式，有,将其代回(f)式，有,(3-3),梁的挠曲线方程：,与材力中结果相同,（2）悬臂梁,边界条件,由式（f）可知，此边界条件无法满足。,边界条件改写为：,（中点不动

7、）,（轴线在端部不转动）,代入式（f），有,可求得：,(3-4),挠曲线方程：,与材料力学中结果相同,说明：,（1）,求位移的过程：,（a）将应力分量代入物理方程,（b）再将应变分量代入几何方程,（c）再利用位移边界条件，确定常数。,（2）,若为平面应变问题，则将材料常数E、作相应替换。,（3）,若取固定端边界条件为：,（中点不动）,得到：,求得：,此结果与前面情形相同。,（为什么？）,（1）,(2-27),（2）,然后将 代入式（2-26）求出应力分量：,先由方程（2-27）求出应力函数：,(2-26),（3）,再让 满足应力边界条件和位移单值条件（多连体问题）。,按应力求解平面问题的基本步

8、骤：,按应力求解平面问题的方法：,逆解法,（1）,根据问题的条件,（几何形状、受力特点、边界条件等），,假设各种满足相容方程（2-27）的(x,y)的形式；,（2）,然后利用应力分量计算式（2-26），求出（具有待定系数）；,（3）,再利用应力边界条件式（2-18），来考察这些应力函数(x,y)对应什么样的边界面力问题，从而得知所设应力函数(x,y)可以求解什么问题。,（1）,根据问题的条件,（几何形状、受力特点、边界条件等），,假设部分应力分量 的某种函数形式；,（2）,根据 与应力函数(x,y)的关系及，求出(x,y)的形式；,（3）,最后利用式（2-26）计算出 并让其满足边界条件和位移

9、单值条件。,半逆解法的数学基础：数理方程中分离变量法。,半逆解法,位移分量求解：,（1）,将已求得的应力分量,（2）,（3）,代入物理方程，求得应变分量,将应变分量,代入几何方程，并积分求得位移分量,表达式；,由位移边界条件确定表达式中常数，得最终结果。,3-3 简支梁受均布载荷,要点,用半逆解法求解梁、长板类平面问题。,1.应力函数的确定,(1),分析：,主要由弯矩引起；,主要由剪力引起；,由 q 引起（挤压应力）。,又 q=常数，图示坐标系和几何对称，不随 x 变化。,推得：,(2),由应力分量表达式确定应力函数 的形式：,积分得：,(a),(b),任意的待定函数,(3),由 确定：,代入

10、相容方程：,方程的特点：,关于 x 的二次方程，且要求 l x l 内方程均成立。,由“高等代数”理论，须有x 的一、二次的系数、自由项同时为零。即：,对前两个方程积分：,(c),此处略去了f1(y)中的常数项,对第三个方程得：,积分得：,(d),(c),(d),将(c)(d)代入(b)，有,(e),此处略去了f2(y)中的一次项和常数项,式中含有9个待定常数。,(e),2.应力分量的确定,(f),(g),(h),3.对称条件与边界条件的应用,（1）对称条件的应用：,由 q 对称、几何对称：,x 的偶函数,x 的奇函数,由此得：,要使上式对任意的 y 成立，须有：,（2）边界条件的应用：,(a

11、)上下边界（主要边界）：,由此解得：,代入应力公式,(i),(j),(k),(b)左右边界（次要边界）：,（由于对称，只考虑右边界即可。）,难以满足，需借助于圣维南原理。,静力等效条件：,轴力 N=0；,弯矩 M=0；,剪力 Q=ql；,可见，这一条件自动满足。,(p),截面上的应力分布：,4.与材料力学结果比较,材力中几个参数：,截面宽：b=1,截面惯矩：,静矩：,弯矩：,剪力：,将其代入式(p)，有,（3-6）,比较，得：,（1）,第一项与材力结果相同，为主要项。,第二项为修正项。当 h/l1，该项误差很小，可略；当 h/l较大时，须修正。,（2）,为梁各层纤维间的挤压应力，材力中不考虑。

12、,（3）,与材力中相同。,注意：,按式（3-6），梁的左右边界存在水平面力：,说明式（3-6）在两端不适用。,解题步骤小结：,（1）,（2）,（3）,根据问题的条件：几何特点、受力特点、约束特点（面力分布规律、对称性等），估计某个应力分量（）的变化形式。,由 与应力函数 的关系式（2-26），求得应力函数 的具体形式（具有待定函数）。,（4）,（5）,将具有待定函数的应力函数 代入相容方程：确定 中的待定函数形式。,由 与应力函数 的关系式（2-26），求得应力分量。,由边界条件确定 中的待定常数。,用半逆解法求解梁、矩形长板类弹性力学平面问题的基本步骤：,应力函数法求解平面问题的基本步骤：,

13、求解方法：,半逆解法的数学基础：数理方程中分离变量法。,位移分量求解：,1.应力函数的确定,推得：,任意的待定函数,简支梁受均布载荷,(e),2.应力分量的确定,3.由边界条件确定待定常数,附：,应力函数确定的“材料力学方法”,要点：,利用材料力学中应力与梁内力的关系，假设某个应力分量的函数形式。,适用性：,直梁、长板条等受连续分布面力、杆端集中力、杆端集中力偶等。,应力函数常可表示为：,设法由边界面力先确定 其中之一，然后将其代入 确定另外一个函数。,材力中，应力分量与梁内力的关系为：,式中：,M(x)弯矩方程；,Q(x)剪力方程。,当有横向分布力q(x)作用时，纵向纤维间存在挤压应力，,同

14、时，横向分布力q(x)的挤压作用时，对轴向应力 也产生影响。,应力分量与梁内力的关系可表示为：,然后由：,确定应力函数 的具体形式。,例：,悬臂梁，厚度为单位1，=常数。求：应力函数 及梁内应力。,解：,(1)应力函数的确定,取任意截面，其内力如图：,取 作为分析对象，可假设：,（a）,f(y)为待定函数,由 与应力函数 的关系，有：,（b）,对 x 积分一次，有：,对 y 再积分一次，有：,其中：,（c）,（c）,由 确定待定函数：,（d）,要使上式对任意的x，y成立，有,（e）,（f）,由式（e）求得,（g）,由式（f）得,（h）,（i）,积分式（h）和（i）得,（j）,（k）,(l),包

15、含9个待定常数，由边界条件确定。,(2)应力分量的确定,(m),(3)利用边界条件确定常数,(o),代入可确定常数为：,代入式（m）得,注：,也可利用 M（x）=0，考虑,进行分析。此时有：,为待定函数，由相容方程确定。,剪力：,可假设剪应力：,3-4 楔形体受重力和液体压力,要点,半逆解法（因次或量纲分析法）,问题的提法：,楔形体，下部可无限延伸。,侧面受水压作用：,（水的容重）；,自重作用：,（楔形体的容重）；,求：楔形体应力分布规律。,1.应力函数及应力分量,(1)分析：,(a),的量纲为：,的量纲为：,(b),由 推理得：,应为 x、y 的三次函数。,应力函数可假设为：,(2)应力分量

16、,考虑到：X=0，Y=（常体力）,(a),显然，上述应力函数满足相容方程。,2.边界条件的利用,(1)x=0（应力边界）：,代入式（a），则应力分量为：,(b),(2)（应力边界）：,其中：,将(b)代入，有,代入，可求得：,代入式（b），有：,(3-7),李维（Levy）解答,沿水平方向的应力分布,与材力结果比较：,沿水平方向不变，在材力中无法求得。,沿水平方向线性分布，与材力中偏心受压公式算得结果相同。,沿水平方向线性分布，材力中为抛物线分布。,结果的适用性：,（1）,当坝的横截面变化时，不再为平面应变问题，其结果误差较大。,（2）,假定坝下端无限延伸，可自由变形。而实际坝高有限，底部与基

17、础相连，有地基约束，故底部处结果误差较大。,（3）,实际坝顶非尖顶，坝顶处有其它载荷，故坝顶处结果误差较大。,三角形重力坝的精确分析，常借助于有限元数值方法求解。,工程应用：,求使坝稳定时的角度，称为安息角。,平面问题的直角坐标解答,一、多项式解答,逆解法,二、梁、长板类弹性体应力函数方法,三、三角形板、楔形体的求解方法,例：,图示矩形板，长为 l，高为 h，体力不计，试证以下函数是应力函数，并指出能解决什么问题。式中k、q为常数。,解：,(1),应力分量：,边界条件：,显然，上下边界无面力作用。,上下边界,(2),左边界,右边界,结论：可解决悬臂梁左端受集中力问题。,例：,图示矩形截面简支梁

18、，长为 l，高为 h，受有三角形分布载荷作用，体力不计。试求其应力分布。,解：,（1）应力函数形式的确定,梁截面上弯矩和剪力为：,由材料力学方法可确定应力分量的分离变量形式：,取应力分量 分析，,取应力分量 与应力函数的关系：,对此式积分：,为待定函数,（2）由相容方程确定待定函数,代入,要使上述方程对任意的 x 成立，有,(a),(b),(c),积分式（a），得,将上式代入（b）积分，得,积分式（c），得,(d),(e),(f),将求得的,代入应力函数，有,（3）计算应力分量,(g),(h),（3）利用边界条件确定待定常数,上边界：,(i),(j),(k),下边界：,(l),(m),(n),

19、左边界：,左边界：,(o),(p),(q),(r),(s),(t),联立求解式（i）（t）,可得具体的应力分量。,注：位移边界条件转化为应力边界条件。,（1）,（2）,试按材料力学中确定应力的方法，写出图示两梁所有应力分量形式。（含有待定函数）,课堂练习：,3-5 级数式解答,问题的提出,多项式解答：,只能求解载荷简单，且连续分布的问题。,不能求解载荷复杂，且间断分布的问题。,级数式解答：,其基本思路是将应力函数 分解成关于 xy 的两个单变量函数的乘积。分离变量法。,（属逆解法）,1.级数形式的应力函数,假设：,(a),式中：,为任意常数，其量纲为,为 y 的任意（待定）函数。,将其代入：,

20、载荷复杂，且间断分布的问题，可由级数式解答解决。,有：,(b),解上述方程，得,其中：A、B、C、D 都是任意常数，,将其代入应力函数，得,(c),再取如下应力函数：,式中：,也为任意常数,为 y 的任意（待定）函数。,类似于上面的运算，可得应力函数的另一解：,(d),显然，将式(c)与(d)相加，仍为可作为应力函数：,(e),取 和 的一系列值，即取：,将由此构成的 加起来，有,(3-8),显然，式(3-8)满足相容方程，可作为应力函数。且在其上再加若干个满足相容方程的应力函数，仍可作为应力函数。,2.级数形式的应力分量,将上述应力函数 代入应力分量表达式（2-26），有,(3-9),式（3

21、-9）满足相容方程、平衡方程，只要适当选取：,使其满足边界条件，即为某问题的解。,3-6 简支梁受任意横向载荷,边界条件,1.边界条件的级数表示,上下边界：,左右边界：,（a）,（b）,（c）,（d）,由边界条件（c），得,此时应力分量式（3-9）简化为,（3-10）,将此应力分量式（3-10）代入边界条件（b），有,（e）,（f）,（i）,（j）,（g）,（h）,将此应力分量式（3-10）代入边界条件（a），有,（3-11）,比较式（3-11）与式（g）和（h）两边的系数，有,（k）,（l）,由式(i)、(j)、(k)、(l)可求得全部和系数：，代入式（3-10）求得应力分量。,说明：,（1

22、）,边界条件（d）在求解中没有用到，但可以证明是自动满足的。,（2）,级数求解计算工作量很大，通常由有关计算软件求解，如：MathCAD、Matlab、Mathematica等。,（3）,结果在梁的端部误差较大；另外，当梁的跨度与高度相当时结果误差也较大。,弹性力学平面问题的基本理论小结,一、两类平面问题及其特征,体力、面力的作用面都平行于xoy平面，且沿板厚不变化。,体力、面力的作用面都平行于xoy平面，且沿 z 向不变化。,z 方向的尺寸远小于板面内的尺寸（等厚度薄平板）,z 方向的尺寸远大于xoy平面内的尺寸（等截面长柱体）,二、平面问题的基本方程,（1）平衡微分方程,（2-2）,（假定

23、：小变形、连续性、均匀性）,（2）几何方程,（2-9）,（假定：小变形、连续性、均匀性）,（3）物理方程,(2-15),（平面应力）,(2-16),（平面应变）,（假定：小变形、连续性、均匀性、线弹性、各向同性）,三、平面问题的基本求解方法及基本方程,思路：,（1）按位移求解,以位移u、v为基本未知量，在所有基本方程中消去其余6个量，得到以位移表示的基本方程，从中求出 u、v，再由几何方程、物理方程求出其余未知量。,基本方程：,（2-20）,位移表示的平衡方程,（2-21）,（2-17）,位移表示的应力边界条件,位移边界条件,（2）按应力求解,思路：,以应力 为基本未知量，将基本方程用只有 的

24、3个方程，从中求出，再由物理方程、几何方程求出其余未知量。,基本方程：,（2-2）,平衡方程,（2-23）,相容方程,基本控制方程,（平面应力情形）,（2-17）,（2-18）,位移边界条件,应力边界条件,边值条件,（3）两类平面问题物理方程的互相转换：,平面应力问题,平面应变问题,平面应变问题,平面应力问题,（4）边界条件,（2-17）,（2-18）,位移边界条件,应力边界条件,（5）按应力求解的应力函数法基本方程：,(2-27),(2-26),（1）对多连体问题，还须满足位移单值条件。,（2-17）,（2-18）,位移边界条件,应力边界条件,应力函数表示的相容方程,应力函数表示的应力分量,

25、（对常体力情形）,说明：,（2）应力函数确定方法：逆解法、半逆解法。,四、关于平面问题的变形协调方程（相容方程）,（2-22）,（2-23）,（2-24）,(平面应力情形),(平面应变情形),（2-25）,(2-27),形变表示的相容方程,应力表示的相容方程,应力函数表示的相容方程,(基本形式),(常体力情形),适用情形：,小变形、任意弹塑性材料。,(常体力情形),五、边界条件与圣维南原理,位移边界条件,应力边界条件,圣维南原理的要点：,（1）小部分边界（次要边界）；,（2）静力等效；,（3）结果影响范围：,近处有影响，远处影响不大。,圣维南原理的应用：,（1）面力分布复杂的边界（次要边界）如：集中力，集中力偶等；,（2）位移边界（次要边界）；,六、其它,（1）常体力情况下简化,将体力转化为等效的面力：,（2）任意斜面的应力、主应力、主方向、最大最小剪应力计算。,（3）任意方向的正应变计算。,(1),图示矩形板，长为 l，高为 h，体力不计，试证以下函数可作为应力函数，并指出能解决什么问题。式中q为常数。,作 业,作 业,习题：3-1，3 2，3 3，3-4,例：,试写出图示三角形悬臂梁的边界条件。,上边界：,下边界：,代入边界条件公式，有,右边界：,由圣维南原理，有,