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1、2023/7/7,1,第七节 方向导数与梯度,第七章,(Directional Derivative and Grads),一、方向导数,二、梯度,三、小结与思考练习,2023/7/7,2,一、方向导数,定义 若函数,则称,为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数.,在点,处,沿方向 l(方向角为,)存在下列极限:,记作,2023/7/7,3,则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在,证明:由函数,且有,在点 P 可微,得,故,定理,2023/7/7,4,对于二元函数,为,)的方向导数为,特别:,当 l 与 x 轴同向,当 l 与 x 轴反向,向角,2023/7/7,5,解:,2023/7/
2、7,6,解:,2023/7/7,7,二、梯度,方向导数公式,令向量,这说明,方向：f 变化率最大的方向,模:f 的最大变化率之值,方向导数取最大值：,2023/7/7,8,即,同样可定义二元函数,称为函数 f(P)在点 P 处的梯度,记作,(gradient),在点,处的梯度,说明:,函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.,向量,定义,2023/7/7,9,解:,解:,2023/7/7,10,2023/7/7,11,内容小结,1.方向导数,三元函数,在点,沿方向 l(方向角,的方向导数为,二元函数,在点,的方向导数为,沿方向 l(方向角为,2023/7/7,12,2.梯度,三元函数,在点,处的
3、梯度为,二元函数,在点,处的梯度为,3.关系,方向导数存在,偏导数存在,可微,2023/7/7,13,作业,习 题 7-7 P108 4;7;,2023/7/7,14,思考练习,1.设函数,(1)求函数在点 M(1,1,1)处沿曲线,在该点切线方向的方向导数;,(2)求函数在 M(1,1,1)处的梯度与(1)中切线方向,的夹角.,2023/7/7,15,曲线,1.(1),在点,M(1,1,1)处切线的方向向量,解答提示:,2023/7/7,16,2023/7/7,17,指向 B(3,2,2)方向的方向导数是.,在点A(1,0,1)处沿点A,提示:,则,(96考研),2.函数,2023/7/7,18,在点,处的梯度,解:,则,注意 x,y,z 具有轮换对称性,(92考研),3.函数,
