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1、“统计与概率”教学研讨,蔡兴飞2010年5月,李老师给我的主题是：“统计与概率教材教法研究”,一、关于人教版四年级下册108109页例1“折线统计图”教学的几点启示。,启示1、要从单元目标到课时教学目标。,单元目标：1、了解折线统计图的特点；2、会看图；3、会制图；4、会分析图；5、会进行推测；6、会用折线统计图解决问题。例1完成的目标：认识统计图，了解折线统计图特点。（不但可以数量多少，还表示增减变化的情况）会看折线统计图，会进行简单的分析。体会折线统计图的作用。,教学重点：认识折线统计图，了解折线统计图的特点。,知识的前后联系：,例1、“看图”和“分析”，了解特点。例2、“画图”和“推测”
2、，解决问题。,启示2：引发思考：认识统计图要认识什么？分析统计图要分析什么？画图要画什么？,（一）认图方法：1、看横轴、纵轴各表示什么？2、看各数量各是多少？,（二）分析方法：1、数据有什么特点？2、数据怎样变化？3、可以推测哪些情况？,（三）画图重点：（老师示范）1、描点；2、标数；3、连线。,启示3：统计图没有优劣之分，各有优点。条形统计图便于横向比较。折线统计图便于纵向比较。,启示4：与统计无关的活动不必展开。如：为什么参观科技馆的人数越来越多？越来越热爱科学了。科技馆越来越发达。科技馆里的种类越来越多。管理改进了。可能免费了。以上回答跟的知识无关。,启示5：对学生不正确或不严密的回答老
3、师要给予引导。如：这个图形是封闭图形。让学生说折线统计图的特点时：有学生说，画折线统计图比较简便。还有学生说，折线统计图统计数据比较方便。对这些不正确或不严密的回答，教师要表态。,启示6：要把课本静态的图片变成动态的过程。如本课折线统计图的出现，应由教师示范出现。统计图还可以这样画。,二、关于“统计与概率”教学的几点思考。,思考1：什么是随机现象？案例：一次公开教学，为了引出用分数表示可能性，老师创设情境：“王老师收到一封表扬信，表扬我们班一位女同学帮助低年级小朋友，你们猜猜她是谁。”教师的设想是引导学生用“不可能”、“可能”与“可能性”来回答，引出：不可能是男生；全班20个女生都有可能；每人
4、的可能性都是1/20。不料第一个学生的回答就让教师尴尬：“不用猜，我知道她是。”为什么会这样呢？细细分析起来，我们认为老师创设的情境有问题。,我们先来看确定现象和不确定现象。,确定现象：结果是确定的。用“一定”、“不可能”来表述。如：太阳一定从东边升起。太阳不可能从西边升起。不确定现象（随机现象）：结果是不确定的。用“可能”、“可能性大小”来表述。如：抛硬币可能正面朝上，也可能反面朝上，正面和反面朝上的可能性都是1/2。那么，反过来，用“一定”、“不可能”表述的都是确定现象吗？用“可能”表述的都是随机现象吗？我认为，答案是否定的。如：今天我一定完成作业。（这不是确定现象）南渡江的源头可能在琼中
5、县。（源头是确定的，只是我们不清楚而已，事件本身不是随机想象。,以上课例中，一位女同学做好事的事件也一样，事件已经发生了，是确定现象，只是我们不知道她是谁而已，事件本身不是随机现象。事件本身没有多种结果。那么，怎么样的事件是随机现象呢？1、可以重复；2、多种结果；3、结果不确定，但呈现一定的规律。如：抛硬币、摸球、抛骰子、转盘等。对随机现象，我们还需要进一步明确：是预测而不是造句。(今天我一定要完成作业。）（今天老师可能要表扬我。）是预测将来而不是判断过去。事件本身应有随机性（多种结果）。（做好事的女同学可能是谁。）（小明可能是左撇子。）应该是预测，预测将来的事件。,思考2：平均数、中位数用哪
6、一个统计量表示一组数据的情况比较好？课本上常常有这样的问题：,平均数：77中位数：84有两个极端的数据50、43，所以要中位数。那么：为什么有极端数据时，要用中位数呢？,中位数更接近大多数数据。如果只考虑接近大多数数据的话，那为什么不去掉极端数据之后，再求平均数呢？例如：,在有极端数据时用中位数，在没有极端数字时用平均数。,一组数据：1，2，7，8，9。用什么统计量表示这组数据的整体情况合适呢？中位数是：7平均数是：5.4去掉极端数据1、2后，求平均数是88更接近多大多数数据。怎么解决这个问题呢？,一组数据3、5、6、7、8，用什么统计量来表示它的整体情况合适呢？中位数是6。平均数是5.8。按
7、规定，应用平均数5.8，因为没有极端数据。但观察这组数据，好象用6更合适，既接近各数，又处在中间。如何解决这个问题呢？,其实，以上讨论（包括教材），在用“中位数”和“平均数”时，忽略了一个问题，就是“中位数”和“平均数”的用途。它们的用途是有区别的。表示总体水平时，用“平均数”。（两组数据的比较）表示某个数据的位置时，用“中位数”。（组内各元素的比较）表示频率时，用“众数”。,张奠宙（国际欧亚科学院的院士成员）说：数据（平均数和中位数）“没有好坏，只有适合”。例如，小组1分钟跳绳比赛，次数统计如下：234，133，128，92，113，116，182，125，92 1.计算平均数和中位数。2.
8、你认为哪个数据更好地表示这组同学的跳绳水平？两种都好，看你的用处。例如取决于问“总体水平”，还是“中上水平”。,我们看一段采访：唐彩斌：对于一组数据来说，平均数与中位数、众数相比，哪一个数更具有代表性？王权（浙江大学教授）：这个要看具体的情况而定。一般说来，平均数比中位数、众数更有可靠性和代表性，但它易受极大或极小两极端数值的影响。当一组数据中有特大或特小两极端数值时；或者一组数据中有个别数据不确切时；或者资料属于等级性质时，用中位数比较合适。当需要快速而粗略地找出一组数据的代表值时，可以用众数。不能简单地给这三种数按代表性来排序，选用哪个数还是要看实际情况和需求。从统计学上来说，选择中位数和
9、平均数也并非只考虑数据的分布是否对称或者偏斜以及有否极端数据出现，而是要看实际用途。,（上海市静安区教育学院 曹培英）教师甲：我的学生会求平均数、中位数、众数，但要区分什么情况下用平均数或中位数、众数合适，连我自己都说不清楚。教师乙：我试了多种方式，启发学生比较。如，课件出示：六（1）班同学体重情况如下表。体重/kg 30 33 36 39 42 45 48人数 2 4 5 12 10 4 3（1）在上面这组数据中，中位数和众数各是多少？（2）不用计算，你能发现这组数据的平均数、中位数和众数之间的大小关系吗？（小组讨论）（3）用什么统计量表示他们体重的一般水平比较合适？前两个问题学生都能回答，
10、没有疑义，第三个问题的讨论“一片混乱”。教学过程中我几次改变数据，让学生看到平均数与中位数可能相差很大，众数可能不存在，到最后也只是什么情况下用或不用众数的看法比较一致。这是教师教学设计的问题吗？,可见，在使用“平均数、中位数和众数”时，还要考虑用途。,思考3：概率计算与分析关注的是已发生的事件还是末发生的事件？,“概率论起源的故事”。,十七世纪中叶，法国贵族德梅勒在一次和赌友掷骰子中，各押赌注32个金币双方约定，梅勒如果先掷出三次6点，或者赌友先掷三次4点，就赢了对方赌博进行了一段时间，梅勒已经两次掷出6点，赌友已经一次掷出4点，这时候梅勒接到通知，要他马上陪同国王接见外宾，赌博只好中断了请
11、问：两个人应该怎样分这64个金币才算合理呢？赌友说，他要再碰上两次4点，或梅勒要再碰上一次6点就算赢，所以他有权分得梅勒的一半，即梅勒分64个金币的 2/3，自己分64个金币的1/3 梅勒争辩说，不对，即使下一次赌友掷出了4点，他还可以得到 1/2，即32个金币；再加上下一次他还有一半希望得到16个金币，所以他应该分得64个金币的 3/4，赌友只能分得64个金币的 1/4两人到底谁说得对呢？于是就写信向当时法国的最具权威的数学家帕斯卡请教，正是这封信使概率论向前迈出了第一步帕斯卡是17世纪有名的“神童”数学家可是，梅勒提出的“分赌注”的问题，却把他难住了他苦苦思考了两三年，到1654年才算有了
12、点眉目，于是写信给他的好友费马，两人讨论结果，取得了一致的意见：梅勒的分法是对的，他应得64个金币的 3/4，赌友应得64金币的1/4 这时有位荷兰的数学家惠更斯在巴黎听到这件新闻；也参加了他们的讨论讨论结果，惠更斯把它写成一本书叫做论赌博中的计算（1657年），这就是概率论最早的一部著作于是，一个崭新的数学分支概率论登上了历史舞台把故事简化：,张奠宙说，帕斯卡分配赌金的故事，可以在小学高年级出现，这是经典。2002年，中央电视台10频道和观众互动节目中有这样的题目：“甲乙两人出赌资5个金币，形成10个金币的赌资。规定最先赢得5局的人获胜。现在进行了7局，甲赢4局，乙赢3局，因故不得不终止。问
13、这些赌资该如何分配。”,问电视台演播厅的听众，三位都说按照七分之四和七分之三分配。但是，按照概率论的思考是，两人在每一局的获胜机会都一样，即二分之一。现在规定再赛一局第8局。甲的形势是：若甲赢第8局，则得到全部10个金币，但赢的概率是二分之一，所以，期望值是5个金币。若甲输，那么甲乙打平，甲得一半5个金币。但输掉的概率也是二分之一。所以得到2.5个金币。合起来，甲总得7.5个金币。分析乙的形势，则只有在自己赢得第8局的情况下，才能获得一半的赌资，这样的概率只有二分之一，所以乙的期望值是2.5个金币。这是1654年法国数学家帕斯卡和费马通信中的思考。,更早些时候，法国有两个大数学家，一个叫做巴斯
14、卡尔，一个叫做费马。巴斯卡尔认识两个赌徒，这两个赌徒向他提出了一个问题。他们说，他俩下赌金之后，约定谁先赢满5局，谁就获得全部赌金。赌了半天，A赢了4局，B赢了3局，时间很晚了，他们都不想再赌下去了。那么，这个钱应该怎么分？是不是把钱分成7份，赢了4局的就拿4份，赢了3局的就拿3份呢？或者，因为最早说的是满5局，而谁也没达到，所以就一人分一半呢？这两种分法都不对。正确的答案是：赢了4局的拿这个钱的34,赢了3局的拿这个钱的14。为什么呢？假定他们俩再赌一局，或者 A赢，或者 B赢。若是 A赢满了5局，钱应该全归他；A如果输了，即 A、B各赢4局，这个钱应该对半分。现在，A赢、输的可能性都是12
15、,所以，他拿的钱应该是121121234,当然，B就应该得14。通过这次讨论，开始形成了概率论当中一个重要的概念数学期望。,用最简单的方法分析两个赌徒获胜的概率,规则：先胜5局者赢。已经赌了7局，甲胜了4局，乙胜了3局。第8局 第9局,甲胜,乙胜,甲胜,乙胜 乙赢 占1/4,乙胜,甲胜,甲赢 占3/4,可见，概率关注的是未来发现事件的可能性，而不是已经发生的事件。当然，我们可以从已发生的事件，推断未发生的事件。但着眼点是未来，不是过去。这一点大家要清楚。,思考4：一个经典案例给我们什么启示？,国际欧亚科学院院士张奠宙写了一篇文章一个数学故事引出一个经典案例对北京华应龙老师的一堂课“游戏公平”做
16、了评析，称这堂课为经典案例，可见，评价是非常高的。那么，这堂课是怎样的一堂课呢？它经典在哪里呢？我们先来看看这堂课。,“游戏公平”教学实录。,启示1：体现了统计的过程。体现了概率和统计的融合。问题试验数据推断父子争篮球票问题抛瓶盖决定球票归属试验正面朝上多还是反面朝上多收集数据怎样做才公平推断以上步骤体现了统计的过程。,启示2：体现了“大数定律”。概率论的一个基本思想是“大数定律”。大数定律是指在随机试验中，每次出现的结果不同，但是大量重复试验出现的结果的平均值却几乎总是接近于某个确定的值。简单来讲，就是试验的次数要足够大才显示出规律。本课试验分6个大组，每个大组又分4个小组，教师先收集每个小
17、组的数据，再收集每个大组的数据的数据，最后，收集全班的数据（全计）。从小组到大组到全班，数据反映的规律越来越明显。这个过程体现了“大数定律”。体现了概率论的基本思想。,启示3、体现了统计的另一个基本思想：统计规律未必蕴含因果关系。统计不是演绎推理。概率是有规律的，但不是绝对的。统计也一样，未必蕴含因果关系，不是演绎推理，而是一种趋势。当学生探索出瓶盖反面朝上的可能性比较大后，一句“妈妈抛了一次瓶盖，却是正面朝上。”这是为什么呢？一句简单的话，又激起学生新的思考。为什么这样呢？不是说反面朝上的可能性大吗？经过一番讨论之后，学生认识了“统计和概率”中的推测不是因果关系，不是演绎推理，只是一种趋势。
18、这正是“统计与概率”区别于其他科学的地方。,启示4：体现统计观念的培养。整个教学过程教师不是引导学生对概率的运算，而是引导学生对概率的认识，体会概率的规律和随机性，最后点题也不是突出概率的计算，而是突出概率的特征，一句“一切皆有可能”把对概率的认识推向了高潮。整个教学过程都突出了对学生统计观念的培养。,启示5、体现了概率教学的特点：理论分析为主，试验为辅。概率教学是要做实验的，但单靠实验是难以得到最终规律的，还要在实验的基础上进行理论分析。比如“抛硬币”，单靠实验是难以得到正面朝上的可能性是1/2的，还要靠理论分析才得出1/2来。本课华教师始终注重引导学生进行理论分析，在抛瓶盖时，让学生分析为
19、什么反面朝上的可能性大，怎样修改实验可能性才一样。在抛骰子时，引导学生分析为什么部分骰子数字1朝向上次数比较多，而部分骰子1和6朝上的可能性差不多。最后，着重引导学生分析，怎样做才使游戏公平。在这个教学过程中，突出了概率教学特点：理论分析为主，试验为辅。通过实验进行理论分析。,总之，本课经典的地方很多，从不同的角度观察与思考，会有不同的发现。我认为，本课之所以经典，是因为有两方面的突破：一是整节课都按“统计与概率”的基本思想进行教学，处处体现了“统计与概率”的规律及教学要求。如统计观念的培养、大数定律、统计不是演绎科学等教学要求都体现得淋漓尽致。二是激活了学生的思维，整节课学生都在思考之中。概率教学由于有实验，往往课堂很活跃，但学生思维成分很少。而本课实验不是很多，一次是抛瓶盖，一次是抛骰子，可从头至尾学生一直处在思考之中，思维训练很到位，对概率的认识很深刻。,以上是本人对“统计与概率”教学的一些思考，不妥之处还请大家多多指正。,谢谢！,
