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1、1,第五章 定积分,定积分和不定积分是积分学的两个,一种认识问题、分析问题、解决问题的,definite integral,不定积分侧重于基本积分法的训练,而定积分则完整地体现了积分思想,主要组成部分.,思想方法.,2,第五章 定积分,基本要求,理解定积分的定义和性质,微积分基本定理,了解反常积分的概念,掌握用定积分表达一些几何量与物理量(如面积、体积、弧长、功、引力等）的方法.,3,第一节 定积分的概念与性质,定积分问题举例,定积分的定义,关于函数的可积性,定积分的几何意义和物理意义,小结 思考题 作业,定 积 分,定积分的性质,*,*,*,definite integral,4,1.曲边梯
2、形的面积,定积分概念也是由大量的实际问题抽象出,求由连续曲线,一、定积分问题举例,来的,现举两例.,5,用矩形面积,梯形面积,（五个小矩形）,（十个小矩形）,思想,显然,小矩形越多,矩形总面积越接近曲边,近似取代曲边梯形面积,6,采取下列四个步骤来求面积A.,(1)分割,(2)取近似,长度为,为高的小矩形,面积近似代替,7,(3)求和,这些小矩形面积之和可作为曲边梯形,面积A的近似值.,(4)求极限,为了得到A的精确值,取极限,形的面积:,分割无限加细,极限值就是曲边梯,8,2.求变速直线运动的路程,思想,以不变代变,设某物体作直线运动,已知速度,是时间间隔,的一个连续函数,求物体在这段时间内
3、所经过的路程.,思路,把整段时间分割成若干小段,每小段上,速度看作不变,求出各小段的路程再相加,便,得到路程的近似值,最后通过对时间的无限,细分过程求得路程的精确值,9,(1)分割,(3)求和,(4)取极限,路程的精确值,(2)取近似,表示在时间区间,内走过的路程.,某时刻的速度,10,二、定积分的定义,设函数f(x)在a,b上有界,在a,b中任意插入,定义,若干个分点,把区间a,b分成n个小区间,各小区间长度依次为,在各小区间上任取,一点,作乘积,并作和,记,如果不论对,(1),(2),(3),(4),11,被积函数,被积表达式,记为,积分和,怎样的分法,也不论在小区间,上点,怎样的取法,只
4、要当,和S总趋于确定的,极限I,称这个极限I为函数f(x)在区间a,b上的,定积分.,积分下限,积分上限,积分变量,a,b积分区间,12,(2),的结构和上、下限,今后将经常利用定积分与变量记号无关性进行推理.,定积分是一个数,定积分数值只依赖于被积函数,有关;,无关.,而与积分变量的记号无关.,13,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积的负值,1.几何意义,三、定积分的几何意义和物理意义,14,几何意义,各部分面积的代数和.,取负号.,它是介于x轴、函数 f(x)的图形及两条,直线 x=a,x=b之间的,在 x 轴上方的面积取正号;,在 x 轴下方的面积,15,例,解,2.物理意义,t=b所经过的
5、路程 s.,作直线运动的物体从时刻 t=a 到时刻,定积分,表示以变速,16,定理1,定理2,或,记为,黎曼 德国数学家(18261866),四、关于函数的可积性,可积.,且只有有限个间,可积.,当函数,的定积分存在时,可积.,黎曼可积,断点,充分条件,17,解,例 用定义计算由抛物线,和x轴所围成的曲边梯形面积.,直线,小区间,的长度,取,18,对于任一确定的自然数,积分和,当n取不同值时,近似值精度不同.,n取得越大,近似程度越好.,19,讨论定积分的近似计算问题.,存在.,n等分,用分点,分成n个长度相等的小区间,长度,取,有,每个小区间,对任一确定的自然数,20,取,如取,矩形法,公式
6、,矩形法的几何意义,21,对定积分的补充规定,说明,五、定积分的性质,在下面的性质中,假定定积分都存在,且不考虑积分上下限的大小,22,证,(此性质可以推广到有限多个函数作和的情况),性质1,23,证,性质2,性质1和性质2称为,线性性质.,24,补充,例,(定积分对于积分区间具有可加性),则,性质3,假设,的相对位置如何,上式总成立.,不论,25,证,性质4,性质5,如果在区间,则,26,解,令,于是,比较积分值,和,的大小.,例,27,性质5的推论1,证,如果在区间,则,于是,性质5,如果在区间,则,28,证,说明,性质5的推论2,性质5,如果在区间,则,可积性是显然的.,由推论1,29,
7、证,(此性质可用于估计积分值的大致范围),性质6,分别是函数,最大值及最小值.,则,30,解,估计积分,例,31,解,估计积分,例,32,证,由闭区间上连续函数的介值定理:,性质7(定积分中值定理）,如果函数,在闭区间,连续,则在积分区间,至少存在一点,使下式成立:,积分中值公式,至少存在一点,使,即,33,定理用途,无论从几何上,还是从物理上,都容易理解,平均值公式,求连续变量的平均值要用到.,如何去掉积分号来表示积分值.,34,解,例,定积分几何意义,求电动势,在一个周期上的,平均值,35,积分中值公式的几何解释,至少存在一点,在区间,使得以区间,为底边,以曲线,为曲边的曲边梯形的,面积,
8、等于同一底边而高为,的一个矩形的面积.,36,例,证,由积分中值定理有,(a为常数),37,3.定积分的性质,(注意估值性质、积分中值定理的应用),4.典型问题,(1)估计积分值;,(2)不计算定积分比较积分大小.,六、小结,1.定积分的实质:特殊和式的极限.,2.定积分的思想和方法:,以直代曲、以匀代变.,四步曲:,分割、,取近似、,求和、,取极限.,思想,方法,38,思考题1,证,夹逼定理,即得,39,思考题2,解,由定积分几何意义可知,用定积分的几何意义计算,并求,所围成图形的,面积(如图).,图形,40,41,第三节 定积分的换元法 和分部积分法,定积分的换元法,小结 思考题 作业,定
9、积分的分部积分法,definite integral by parts,definite integral by substitution,第五章 定积分,42,上一节的牛莱公式将定积分的计算,的形式,而不定积分可用换元法,和分部积分法求积,这样定积分的计算问题,已经比较完满地解决了.,归结为求不定积分,如果将换元法和分部积分法写成定积分,常可使得计算更简单.,43,定理1,则有,定积分换元公式,假设函数,一、定积分的换元法,函数,满足条件:,(1),(2),具有连续导数,且其值域,definite integral by substitution,44,证,故有,则,由于,N-L公式,N-L
10、公式,则,所以存在原函数,原函数,45,由于积分限做了相应的,故积出来的原函数不必回代;,求定积分的方法有两种方法:,可用N-L公式;,从换元的观点.,(1),换元公式仍成立;,(2),在定积分换元公式中,改变,(3),46,例,解,在用“凑”微分的方法时,不明显地写出,下限就不要变.,定积分的上、,新的变量 t,47,或,例,解,原式,这是半径为a的四分之一的圆的面积.,48,例,解,原式,49,解,令,原式,练习,50,几个关于奇、偶函数及周期函数的定积分的例子.,换元积分,例,证,由于,由被积函数的变化和积分区间变化来确定变换.,通常,作变换,还可以证明一些定积分等式,51,利用这一结果
11、计算:,则,52,可得:,由定积分的几何意义(面积的代数和)也可得.,奇、偶函数在对称区间上的定积分性质,且有,则,则,53,例,54,证,(1),三角函数的定积分公式,例,由此计算,设,证毕.,55,设,证,由此计算,56,说明:,尽管,但由于它没有,初等原函数,故此积分无法直接用N-L公式求得.,57,周期函数的定积分公式,这个公式就是说：,周期函数在任何长为一周期的,区间上的定积分都相等.,(留给同学证),58,例,解,法一,59,法二,即,60,练习,解,被积函数中除积分变量t外还含有变量x,故不能直接应用对积分上限函数的导数的公式,应先作换元变换,则,分析,61,练习,选择题,设函数
12、,连续,则下列函数中,必为偶函数的是,分析,?,2002年考研数学选择3分,62,定积分的分部积分公式,二、定积分的分部积分法,设,有连续的导数,则,definite integral by parts,定理2,由不定积分的分部积分法,及N-L公式.,63,例,解,原式=,?,64,例,解,1990年考研数学计算5分,原式=,65,例,解,无法直接求出,所以,因为,没有初等原函数,分析,被积函数中含有“积分上限的函数”,用分部积分法做.,选择积分上限的函数为,66,今后也可将原积分化为二重积分计算.,67,例 证明定积分公式,证,设,n为正偶数,n为大于1的正奇数,J.Wallis公式,68,积分 关于下标的递推公式,直到下标减到0或1为止,因为,69,所以,当n为正偶数时,当n为大于1的正奇数时,70,例,上公式在计算其它积分时可以直接引用.,71,例,解,用公式,n为正偶数,72,练习,解,用定积分的分部积分公式,73,解,则,是奇函数,是偶函数,练习,n为正偶数,74,定积分的分部积分公式,三、小结,定积分的换元公式,奇、偶函数在对称区间上的定积分性质,三角函数的定积分公式,周期函数的定积分公式,75,思考题1,试检查下面运算是否正确?如不正确,希指出原因.,解答,注意,必定大于零.,上述运算的问题在于引进的变换,不满足换元法则的前提条件.,76,思考题2,解答,
