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1、2023/7/13,微积分定积分,1,上课,手机 关了吗？,2023/7/13,微积分定积分,2,第6章 定积分,2023/7/13,微积分定积分,3,积分有不定积分和定积分之分。不定积分是导数的逆运算，定积分是求“和式的极限”.牛顿莱布尼兹公式给出它们之间的联系.,2023/7/13,微积分定积分,4,6.1 定积分的概念和性质,一、引例,求曲边梯形的面积,a,b,c,d,x,y,o,A,解决步骤:,1)大化小.,在区间 a,b 中任意插入 n 1 个分点,用直线,将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;,2)常代变.,在第i 个窄曲边梯形上任取,作以,为底,为高的小矩形,并以此小,梯形面积近似代
2、替相应,窄曲边梯形面积,得,3)近似和.,4)取极限.,令,则曲边梯形面积,2023/7/13,微积分定积分,7,变速直线运动的路程,设某物体作直线运动,且,求在运动时间内物体所经过的路程 s.,解决步骤:,1)大化小.,将它分成,在每个小段上物体,2)常代变.,得,已知速度,n 个小段,经过的路程为,2023/7/13,微积分定积分,8,3)近似和.,4)取极限.,上述两个问题的共性:,解决问题的方法步骤相同:,“大化小,常代变,近似和,取极限”,所求量极限结构式相同:,特殊乘积和式的极限,2023/7/13,微积分定积分,9,二、定积分的定义,定义,2023/7/13,微积分定积分,10,
3、记为,积分上限,积分下限,积分和,2023/7/13,微积分定积分,11,注意：,2023/7/13,微积分定积分,12,定理1,定理2,三、存在定理,2023/7/13,微积分定积分,13,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积的负值,四、定积分的几何意义,例 利用定义计算定积分,解,f(x)在0,1上连续，,故 存在,将0,1n等分,分点,(i1,2,n),取,(i1,2,n),15,思考题,将和式极限：,表示成定积分,解答,原式,或,2023/7/13,微积分定积分,16,对定积分的补充规定:,五、定积分的基本性质,2023/7/13,微积分定积分,17,证,性质2,性质1,2023/7/13,
4、微积分定积分,18,证,（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）,性质3,2023/7/13,微积分定积分,19,补充：不论 的相对位置如何,上式总成立.,例 若,（定积分对于积分区间具有可加性）,则,性质4,a,b,c,2023/7/13,微积分定积分,20,证,性质5,注：若f(x)g(x)，或：f(x)g(x)且等号仅在一些孤立点成立，则,2023/7/13,微积分定积分,21,解,当 时，,于是,e x x,2023/7/13,微积分定积分,22,证,注:(1)此性质可用于估计积分值的大致范围,性质6,(2)若mf(x)M，或：mf(x)M且等号仅在一些孤立点成立，则,2023/7/
5、13,微积分定积分,23,解,2023/7/13,微积分定积分,24,证,由闭区间上连续函数的介值定理知,性质7（定积分中值定理）,积分中值公式,微积分定积分,25,使,即,积分中值公式的几何解释：,注:称 为函数f(x)在a,b上的 平均值.,2023/7/13,微积分定积分,26,思考,k(ba),0,2023/7/13,微积分定积分,27,五、小结,定积分的实质：特殊和式的极限,定积分的思想和方法：,1.分割 2.近似 3.求和 4.取极限,2023/7/13,微积分定积分,28,作业：,P2081(4)(6)(7)2(2)(3)(4),2023/7/13,微积分定积分,29,曲边梯形的
6、面积(1)分割-任意n份,y,a,f(x),b,2023/7/13,微积分定积分,30,曲边梯形的面积(2)近似,y,f(x),a,b,2023/7/13,微积分定积分,31,曲边梯形的面积(3)求和,y,f(x),a,b,2023/7/13,微积分定积分,32,曲边梯形的面积(4)取极限,y,f(x),a,b,小 结,曲边梯形的面积(1)分割(2)近似(以直代曲)(3)求和(4)取极限,y,f(x),a,b,变速直线运动 的距离(1)分割(2)近似(以不变代变)(3)求和(4)取极限,a,b,2023/7/13,微积分定积分,35,分析问题的共同点：,1）问题的结果决定于一个函数及其自变量的变化区间；2）解决问题（“变”与“不变”、“曲”与“直”）的方法均通过分割整体为局部，在局部进行近似替代，再求和，以求得整体的近似值，最后，在无限细分的极限过程中求得整体的精确值。,2023/7/13,微积分定积分,36,下 课,
