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1、,4.1 定积分概念与性质,4.3 积分的基本公式,经济数学基础 第4章,ESC,第4章 积分及其应用,4.4 换元积分法,4.2 不定积分概念与性质,4.5 分部积分法,4.6 无限区间的广义积分,4.7 积分学的应用,一.定积分定义,ESC,4.1 定积分概念与性质,二.定积分的几何意义,4.1 定积分概念与性质,三.定积分的性质,ESC,一.定积分定义,规则图形 的面积,矩形的面积=长 宽.,长,宽,高,下底,上底,直角梯形的面积=,中位线,长为,直角梯形的面积可用矩形面积计算.,ESC,一.定积分定义,一.定积分定义,用若干条平行于 轴及 轴的直线 将图形分割,所求面积应为被分割的 所
2、有小面积之和.,如左图,将其放入平面直角坐标系中.,我们分析:由三条直线和一条曲 线围成,其中两条直线互相平行,第三条 直线与这两条直线垂直,另一边为曲线,称这样的图形为曲边梯形.,对四周的不规则图形,面积怎么求?只要将其求出,则大的不规则图形面 积也即求出.,ESC,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,求不规则图形 的面积问题,其中,中间部分为矩形,易求面积.,求曲边梯形 的面积问题,ESC,一.定积分定义,案 例,如何求曲边梯形的面积?,将曲边梯形放在平面直角坐标系中,则由连续曲线,称为曲边梯形.,直线,面积,ESC,一.定积分定义,直,曲,在区间 上任意选取分点,每个小区间的长度为,
3、其中最长的记作,=,=,我们从计算矩形面积出发计算曲边梯形面积.,(1)分割分曲边梯形为 个小曲边梯形,ESC,一.定积分定义,=,=,过每个分点()作 轴的垂线,把曲边梯形分成 个窄曲边梯形.,(1)分割分曲边梯形为 个小曲边梯形,用 表示所求曲边梯形的面积.,表示第 个小曲边梯形面积,则有:,ESC,一.定积分定义,=,=,(2)近似代替用小矩形的面积代替小曲边梯形的面积,在每一个小区间 上任选一点(),用与小曲边梯形同底,以 为高的小矩形的面积 近似代替小曲边梯形的面积,即,ESC,一.定积分定义,=,=,(3)求和求 个小矩形面积之和,个小矩形构成的阶梯形的面积是,这是原曲边梯形面积的
4、一个近似值.即,ESC,一.定积分定义,(4)取极限由近似值过渡到精确值,分割区间 的点数越多,即 越大,且每个小区间的长度越短,即分割越细,阶梯形的面积,即和数 与曲边梯形面积 的误差越小.,现将区间 无限地细分下去,并使每个小区间的长度 都趋于零,这时,和数的极限就是原曲边梯形面积的精确值.,动态描述阶梯形面积 与曲边梯形面积的 无限接近过程,ESC,一.定积分定义,案 例,如何求曲边梯形的面积?,面积,(1)分割;(2)近似代替;(3)求和;(4)取极限.,经以下四步:,一.定积分定义,案 例,如何求曲边梯形的面积?,(1)分割;(2)近似代替;(3)求和;(4)取极限.,经以下四步:,
5、一.定积分定义,案 例,如何求曲边梯形的面积?,(1)分割;(2)近似代替;(3)求和;(4)取极限.,经以下四步:,A,一.定积分定义,案 例,如何求曲边梯形的面积?,(1)分割;(2)近似代替;(3)求和;(4)取极限.,经以下四步:,A,一.定积分定义,案 例,如何求曲边梯形的面积?,(1)分割;(2)近似代替;(3)求和;(4)取极限.,经以下四步:,A,一.定积分定义,案 例,如何求曲边梯形的面积?,(1)分割;(2)近似代替;(3)求和;(4)取极限.,经以下四步:,A,一.定积分定义,案 例,如何求曲边梯形的面积?,(1)分割;(2)近似代替;(3)求和;(4)取极限.,经以下四
6、步:,ESC,一.定积分定义,案 例,求得曲边梯形的面积:,(1)分割;(2)近似代替;(3)求和;(4)取极限.,经,ESC,一.定积分定义,定义4.1,用分点,设函数 在闭区间 上有定义,把区间 分成 个小区间,其长度,并记,在每一个小区间()上任选一点,作乘积的和式,当 时,若上述和式的极限存在,且这极限与区间 的分法无关,与点 的取法无关,则称函数 在 上是可积的,并称此极限值为函数 在 上的定积分,记作,即,ESC,一.定积分定义,积分上限,积分下限,积分变量,积分号,称为积分区间.,由定积分定义还可知,案例中:,ESC,一.定积分定义,由定积分定义知：,积分上限,1.定积分 是一个
7、数值,该数值取决于被积函数 和积分区间,与积分变量无关,即,积分下限,2.交换定积分的上下限,定积分变号,即,特别地,有,ESC,一.定积分定义,3.可以证明：如果在区间上可积，则在区间上有界，即函数有界是其可积的必要条件,这一结论也可以叙述为：如果函数在区间上无界，则在上不可积,4.可积的充分条件:,，且只有有限个第一类,函数 在 上连续,在 上可积。,函数 在 上有界,在 上可积。,间断点,ESC,一.定积分定义,例1 下列函数在区间-1,1上不可积的是（）,解：选,在区间-1,1 上有,无穷型间断点 即无界。,学生思考：为什么选项 中的函数在区间-1,1 上可积。,ESC,二.定积分的几
8、何意义,特别地,在区间 上,若,则,面积,二.定积分的几何意义,在区间 上,若,ESC,二.定积分的几何意义,则图中阴影部分的面积为,在区间 上,ESC,二.定积分的几何意义,例2,ESC,用几何图形说明下列等式成立:,(1),(1)由定积分的几何意义,该面积就是作为曲边的函数 在区间 上的定积分,即,解,二.定积分的几何意义,ESC,(2),解,(2)由定积分的几何意义,该面积就是作为直线的函数 在区间 上的定积分,即,三.定积分的性质,性质1,ESC,常数因子 可提到积分符号前,性质2,代数和的积分等于积分的代数和,例3,ESC,解,计算定积分,由上述定积分的性质及例2,有,由性质2,由性
9、质1,由例2(1)(2),三.定积分的性质,三.定积分的性质,ESC,对任意三个数,总有,(1)当 时,由定积分的几何意义可知,曲边梯形 的面积,=曲边梯形 的面积,+曲边梯形 的面积.,即,性质3(定积分对积分区间的可加性),三.定积分的性质,性质3(定积分对积分区间的可加性),对任意三个数,总有,(2)当 时,由前一种情形,应有,ESC,其他情形可类似推出.,例4,ESC,用几何图形说明下列等式成立:,解,三.定积分的性质,(1),(1)由定积分对区间的可加性知,面积,由定积分的几何意义,=,=,故,奇函数,ESC,解,三.定积分的性质,(2)由定积分对区间的可加性知,面积,由定积分的几何
10、意义,=,=,故,(2),偶函数,三.定积分的性质,ESC,则,则,(1)若 是奇函数,即,设函数 在对称区间 上连续,(2)若 是偶函数,即,三.定积分的性质,ESC,性质4(比较性质),若函数 和 在闭区间 上总有,则,由图,两个曲边梯形的面积有关系:,的面积,的面积,=,=,例5,ESC,比较下列积分值的大小:,解,三.定积分的性质,由定积分的比较性质,(1)在区间 上,因,ESC,解,三.定积分的性质,由定积分的比较性质,(2)在区间 上,因,ESC,三.定积分的性质,(5.1.1),ESC,三.定积分的性质,这一性质的几何意义是:由曲线，轴和直线，所围成的曲边梯形面积等于区间上某个矩
11、形的面积，这个矩形的底是区间，其高为区间内某一点处的函数值.,ESC,三.定积分的性质,由(5.1.1)式得到的，称为函数在区间上的平均值,例已知需求函数为试求出在区间平均,价格的表示式.,（单位：元）,ESC,三.定积分的性质,解 在区间平均价格记为，则,例,估计 的值.,解 令=，求导得.,令，得,ESC,三.定积分的性质,所以.,ESC,内容小结,1.定积分的定义,乘积和式的极限,近似计算,矩形公式,梯形公式,3.定积分的性质,4.积分中值定理,连续函数在区间上的平均值公式,2.定积分的几何意义,ESC,课堂练习,1.比较下列定积分的大小,2.计算下列定积分,ESC,课堂练习,（4）设 是上的连续函数，计算：,.用定积分的几何意义，判别下列不等式成立否？,（）在区间上，若,则,ESC,课堂练习,（）在区间上，若,.用几何图形说明下列各式对否？,ESC,布置作业,.不计算积分，比较下列定积分的大小,.估计下列定积分的值,.求函数在区间上的平均值。,
