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1、2.2 连续非周期信号的 Fourier 变换,一、问题的分析,1.简单分析,(1)非周期信号可以看成是一个周期为无穷大的“周期信号”。,一、问题的分析,当 T 越来越大时，取值间隔越来越小；,当 T 趋于无穷时，取值间隔趋向于零，,因此，一个非周期信号将包含所有的频率成份。,其频谱是以基频 为间隔离散取值的。,即频谱将连续取值。,(2)当 时，频率特性发生了什么变化？,一、问题的分析,1.简单分析,(3)当 时，级数求和发生了什么变化？,一、问题的分析,1.简单分析,分析,(3)当 时，级数求和发生了什么变化？,分析,一、问题的分析,1.简单分析,按照积分定义，在一定条件下，上式可写为,2.
2、Fourier 积分公式,一、问题的分析,1.连续 Fourier 变换的概念,注：上述变换式中的广义积分为柯西主值。,二、连续 Fourier 变换与连续频谱,(2)称 为连续 Fourier 逆变换。,与 Fourier 级数的物理意义一样，Fourier 变换同样,刻画了一个非周期信号的频谱特性。,信号的频谱是连续取值的。,它一般为复值函数，故可表示为,反映的是信号 中各频率分量的分布密度，,2.连续 Fourier 变换的物理意义,二、连续 Fourier 变换与连续频谱,不同的是，非周期,三、一些常用信号的频谱,(2)振幅谱为,相位谱为,(3)求 Fourier 逆变换，即可得到的
3、Fourier 积分表达式。,解,一般地，有,特别地，有,即 与 1 构成 Fourier 变换对,求单位冲激信号 的频谱,的积分方式得出来的，,在对单位冲激信号 进行 Fourier 变换时，其广义,例,积分是根据 的性质直接给出的，,一种广义的 Fourier 变换。,而不是通过通常,称 这 种方式的 Fourier 变换是,解,(抽样信号),解,由于 的频谱为,得,(2)将等式 的两边对 求导，有,即得,三、一些常用信号的频谱,(1),(2),(3),(汇总),四、连续 Fourier 变换的基本性质,2.线性性质,4.求“和”性质,3.微分性质,1.对偶性质,5.位移性质,四、连续 F
4、ourier 变换的基本性质,6.相似性质,相似性质表明，,事实上，在对矩形脉冲信号的频谱分析中已知：,相似性质正好体现了脉冲宽度与频带宽度之间的反比关系。,四、连续 Fourier 变换的基本性质,6.相似性质,设 a 为非零常数，则,性质,四、连续 Fourier 变换的基本性质,7.帕塞瓦尔(Parseval)等式,四、连续 Fourier 变换的基本性质,帕塞瓦尔等式表明，时域中的能量与频域中的能量相等。,(能量守恒),则 的频谱为,由 Parserval 等式有,即,即,如果,它在 上定义了一个自变量为 t 的函数，,则,称此,1.卷积的概念,五、连续信号的卷积与卷积定理,广义积分
5、对任何实数 t 都收敛，,函数为 与 的卷积，记为,2.卷积的性质,交换律,结合律,分配律,(1)运算性质,五、连续信号的卷积与卷积定理,(2)分析性质,微分性质,积分性质,解,(1)当 时，,(2)当 时，,将信号 反褶并平移到 t，得到,从上面的例子可以看出,(2)卷积由反褶、平移、相乘、积分四个部分组成。,因此，卷积又称为褶积或卷乘。,(1)对于用分段函数所表示的信号，如何确定卷积的积分限,另外，利用卷积满足交换律这一性质，适当地选择两个信号,是解题的关键。,的卷积次序，还可以使积分限的确定更容易一些。,通常采用图形方式则比较直观。,即首先,(1)当 时，,2,1,t,(2)当 时，,2
6、,2,1,(3)当 时，,2,综合得,解(略),3.卷积定理,五、连续信号的卷积与卷积定理,类似地有,证明,4.卷积的物理意义,五、连续信号的卷积与卷积定理,方法,(1)求出信号 频谱,方法一 在频率域中实现,(2)令,(3)将 与 相乘，得到,(4)对 作 Fourier 逆变换，得到新信号,4.卷积的物理意义,五、连续信号的卷积与卷积定理,方法,根据卷积定理，该信号 与方法一中得到的信号,方法二 在时间域中实现,(3)求卷积得到新信号,是一样的。,4.卷积的物理意义,(1)令,(2)求出频谱 所对应的信号,五、连续信号的卷积与卷积定理,这正是卷积的意义和价值。,根据卷积定理有,方法二,(2)一般地，有,已知,设,即得,冲激信号的搬移特性。,此式被称为单位,它们的频谱分别为,令,则,根据卷积定理有,六、周期函数的连续 Fourier 变换,证明,由,有,(2)利用连续 Fourier 变换求频谱,
