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1、数学建模的基本步骤：,1、问题分析,2、模型假设,3、模型建立,4、模型求解,5、分析检验,6、论文写作,7、应用实际,二十一世纪的工作者 需要具有以下能力,1.抽象思维能力 2.逻辑推理能力3.数学运算能力 4.空间想象能力5.数学建模能力 6.数值计算与数据处理能力7.使用数学软件的能力 8.更新知识的能力,主要学习内容：,1、量纲分析 2、集合分析 3、微分方程 4、差分方程 5、差值与拟合 6、MATLAB 7、概率分布 8、数理统计 9、回归分析 10、线性规划 11、整数规划 12、非线性规划 13、动态规划,初等分析方法：所用的数学知识和方法都是初等的，在解决实际问题的过程中，往
2、往主要是看解决问题的效果和应用的结果如何，而不在于用了初等的方法还是高等的方法。,初等分析建模方法 常用的方法有：类比分析法、几何分析法、逻辑分析法、量纲分析发、集合分析法等。,量纲分析与轮廓模型,量纲分析建模,一、单位与量纲,1、单位,数学建模的目的是解决实际问题，而实际问题中的量都有相应的单位。数学中纯粹的数在实际问题中不具有明确的含义。如在实际问题中谈某个长度量，在关注其数值的同时还必须关注其单位，否则，我们便没有把这个量完全弄清楚。但实际问题中的诸多量并非全是相互独立的，其中一些量能起到基本量的作用，其它量是这些基本量的符合某种规律的组合，如速度是长度与时间这两个基本量的一种规定的组合
3、。,如果规定了基本量的单位，其它量的单位也随之确定。,定义：一组物理量，若彼此相互独立，且其它物理量均是这些物理量的合乎某种规律的组合，则称这些物理量为基本物理量。,基本量信息表,2、基本物理量,3、量纲,定义：一物理量与基本物理量之间的规定关系，称为该量的量纲。这种规定关系常以基本物理量的幂指乘积形式表示，因此也称为量纲积。即任一物理量的量纲皆可表示成,4、量纲与单位的关系,1）、量纲和单位都在反映物理量的特征，反映该物理量与基本物理量间的关系。,2）、任何物理量的量纲是唯一的，但单位可以有多个。,3）、有的量可以没有量纲，但它可能有单位。如角度,4）、物理量的量纲及其相互关系反映了各量之间
4、的内在属性，这是量纲关系能用于建立数学模型的理论基础。,二、量纲齐次性定理,定理：,例 1 建模描述单摆运动的周期 问题：质量为m的小球系在长度 为 l的线的一端,铅垂悬挂。小 球稍稍偏离平衡位置后将在重 力的作用下做往复的周期运动。分析小球摆动周期的规律。,假设：1.忽略空气阻力；2.忽略可能的磨擦力；3.平面运动，忽略地球自转；4.忽略摆线的质量和变形。,分析建模 10.列出有关的物理量 运动周期 t，摆线长 l，摆球质量 m，重力加速度 g，振幅.20.写出量纲 t=T，l=L，m=M，g=LT-2，=1.30.写出规律 F(t,l,m,g,)=0.40.写出规律中加项 的形式=t 1
5、l 2 m 3 g 4 5,50.计算 的量纲=T1L2M3(LT-2)4=T1-24L2+4M 3 60.应用量纲齐次原理 由=1,可得关于i(i 1,5)的方程组 1-24=0 2+4=0 3=0 5 任意,70.解方程组解空间的维数是二维。对自由变量(4，5)选取基底(1,0)和(0,1)。关于 1,2,3 求解方程组可得基础解系,80.求 将方程的解代入加项 的表达式，可得 1=t2 l-1 g=t2 g/l，2=.90.建模 单摆运动的规律应为 f(1,2)=0，解出 1 可得 1=k1(2)，即 t2 g/l=k1()，,100.检验 周期与 质量 m m=390g m=237gl
6、=276cm 3.327s 3.350sl=226cm 3.058s 3.044s 周期与振幅(l=276cm,m=390g)(0)8.34 13.18 18.17 23.31 28.71 33.92 39.99 46.62 k()6.35 6.35 6.354 6.354 6.388 6.388 6.471 6.524 150 时,k()2。k()与 有关。,布金汉（Buckingham）定理,对于某个物理现象或过程，如果存在有n个变量互为函数关系，f(a1,a2,an)=0而这些变量含有m个基本量纲，可把这n个变量转换成为有(n-m)=i个无量纲量的函数关系式 F(1,2,n-m)=0这样
7、可以表达出物理方程的明确的量间关系，并把方程中的变量数减少了m个，更为概括集中表示物理过程或物理现象的内在关系。,量纲分析法的一般步骤：1、将于问题有关的物理量（变量和常量）收集起来，记为q1,q2,qm,根据问题的物理意义确定基本量纲，记为x1,x2,xn(nm)。,2、写书qj的量纲qj=Xjaij(j=1,2,m)。,3、设q1,q2,qm满足关系=qjyj,其中yj为待定的，为无纲的量。,4、解方程组aijyj=0(i=1,2,n),系数矩阵A=(aij)nm,rank(A)=r,则方程组有m-r个基本,yk=(yk1,yk2,ykm)T,（k=1,m-r）。,5、记k=qjykj,则
8、k(k=1,2,m-r)为无量纲的量。,6、由 F(1,2,m-r)=0 解出物理规律。,相关因素：,因素的量纲：,齐次关系：,从该例题看出，利用定理，可以在仅知与物理过程有关物理量的情况下，求出表达该物理过程关系式的基本结构形式。用量纲分析法所归纳出的式子往往还带有待定的系数，这个系数要通过实验来确定。而量纲分析法求解中已指定如何用实验来确定这个系数。因此，量纲分析法也是流体力学实验的理论基础。,三.量的比例关系与轮廓模型,1.量的比例关系 10.模型表达了不同量纲的量之间的转换规律.20.由量纲分析原理可知:不同量纲的量的乘幂之间一定存在比例关系。30.在同一模型中，若量 y1和 y2的量
9、纲分别为 y1=X和 y2=X，则定有 y1=k y2/,轮廓模型(profile models)直接利用不同量纲的量之间的比例关系所得到的模型称之为轮廓模型。,模型举例 例 2.几何体中的长度、面积和体积 正立方体 棱长 l0=a，底面周长 l1=4a，底面对角线 长 对角线长 表面积 S1=6a2，底面面积 S2=a2，对角面面积 体积 V1=a3，四棱锥体积 V2=a3/3,结论在简单的几何体中，相应部位的面积与相应部位长度的平方呈正比；相应部位的体积与相应部位长度的立方呈正比；相应部位的体积与相应部位面积的3/2次方呈正比；Si=k1 Lj2，V i=k2Lj3，Vi=k3Sj3/2。
10、,长方体 I 有棱长(a,b,c)总棱长L1=2(a+b+c),底面周长 L2=2(a+b),对角线长 表面积 S1=2(ab+bc+ca),底面面积 S2=ab,体积 V1=abc,四棱锥体积 V2=1/3 abc.,若长方体 II 有棱长(a*,b*,c*),且 a*/a=b*/b=c*/c=m.则有L1*=mL1,L2*=mL2,L3*=mL3;S1*=m2S1,S2*=m2S2;V1*=m3V1,V2*=m3V2.于是可得 Si*/Lk*2=Si/Lk2;Vi*/Lk*3=Vi/Lk3;Vi*/Sk*3/2=Vi/Sk3/2.即 S=k1L2,V=k2L3,V=k3S3/2.,结论在相
11、似的几何体中，相应部位的面积与相应部位长度的平方呈正比；相应部位的体积与相应部位长度的立方呈正比；相应部位的体积与相应部位面积的3/2次方呈正比；Si=k1 Lj2，Vi=k2Lj3，Vi=k3Sj3/2。,例3.生活中的长度、面积和体积。10.一种动物的体重W和体长L W(ozs)17 16 17 23 26 27 41 49 L(in)12.50 12.63 12.63 14.13 14.50 14.50 17.25 17.75 L3 1953 2015 2015 2821 3049 3049 5133 5592 W/L3.0087.0079.0084.008.0085.0089.008.
12、0088,20.人的体重W和身高LW(kg)12 17 22 35 48 54 66 75L(cm)86 108 116 135 155 167 178 185L3(103cm3)636 1260 1560 2460 3724 4657 5640 6332 W/L3.0189.0135.0141.0142.0129.0116.0117.0118,30 蜥蜴的体长和体重 小蜥蜴体长15cm,体重为15g,当它长到20cm长时体重为多少?(20g,25g,35g,40g),例4.商品的包装与成本 商 品 价格 含量 价格 含量高露洁牙膏 15.7元/190g 5.8元/60g 诗芬洗发液 35.9
13、元/400ml 23.1元/200ml富丽饼干 8.8元/450g 3.0元/150g 奇宝饼 5.9元/250g 4.3元/150g,单价8.3元/100g9元/100ml1.9元/100g2.3元/100g,单价9.7元/100g11.5元/100ml2元/100g2.87元/100g,建模分析为什么小包装的商品比大包装的要贵一些?,假设:10.不考虑利润及其他因素对商品价格的影响。20.包装只计装包工时和包装材料。30.不同规格的商品装包时工作效率相同。40.不同规格的商品包装外观相似，包装材料相似，至少在价格上没有太大的差异。.,参量与变量 A:每件商品中产品的成本,W:每件商品中产品
14、的含量,B:每件商品的包装成本,B1:装包工时投入,B2:包装材料成本 S:包装材料用量,C(W):总成本,c(W):单位商品平均成本.,模型 C(W)=A+B1+B2 A=a1W,B1=a2W,B2=a3S=a4w2/3.C(W)=k1W+k2W2/3c(W)=k1+k2W-1/3,应用:1.价格预测 康尔乃奶粉 32.4元 400g;67.1元 900g.4 k1+42/3 k2=32.4 9 k1+92/3 k2=67.1 解得:k1=5.3791,k2=4.3192 模型:C(W)=5.3791 W+4.3192 W2/3.预测:W=1800,C(W)=126.49.W=2500,C(
15、W)=154.36检验 实际:W=1800,C(W)=115.9 W=2500,C(W)=146.85,可赛矿泉水 1.70元 0.6升；2.20元 1.0升 0.6 k1+0.62/3k2=1.7 1.0 k1+1.02/3 k2=2.2 解得：k1=-1.21，k2=3.41 预测：W=1.5，C(W)=2.65检验 实际:W=1.5,C(W)=3.45,分析 10.不宜于预报新商品的价格(?)20.成本的降低率 r(W)=|dc/dw|=1/3 k2W-4/3.是商品量的减函数.30.支出的节省率 S(W)=W r(W)=1/3 k2W-1/3.也是商品量的减函数.购买小包装的商品不合算
16、，购买特大包装的商品也不合算！,例5.划艇比赛的成绩 问题1.划艇按艇上桨手的人数分为单人、双人、四人和八人艇四种，赛程 2000m,称划行时间为比赛成绩。试组建模型描述划艇的比赛成绩与艇上运动员人数的关系。,假设：10.运动员体重 W 相等，每人输出功率 P 不变,20.艇身相似，30.艇速 v 定常，阻力 F,且与体重 W 呈正比。,艇重 U 与桨手人数 n 呈正比。,F 与 Sv2 呈正比，S 为浸没面积。,参量、变量n:人数，W:体重，P:输出功率,U:艇重，v:艇速，F:划艇受到的阻力，S:浸没面积,V：排水体积，D:比赛距离，T:比赛成绩(时间).,模型 由假设可知 P=k1W,F
17、=k2Sv2.由物理知识可知,桨手输出的功完全用于划艇克服阻力产生定常的速度。因此有 n P=k4 F v，则 k1 n W=k4 k2 S v3，v=k(nW/S)1/3.,由阿基米德原理可知划艇排水的体积V与载人艇的总重量呈正比,且 U=k3n V=k5(U+nW)=nk5(k3+W)=k6n。浸没面积与排水体积之间有关系S=k7V2/3=k8n2/3。代入速度的模型，可得 v=k(nW/n2/3)1/3=kn1/9最后得到比赛成绩的模型 T=D/v=kn-1/9.,检验：划艇四次比赛的成绩 种类 成绩(划2000米时间(分)平均 单人 7.16 7.25 7.28 7.17 7.215
18、双人 6.87 6.94 6.95 6.77 6.8775 四人 6.33 6.42 6.48 6.13 6.34 八人 5.87 5.92 5.82 5.73 5.835根据这些数据，利用最小二乘法拟合可得 T=7.29 n-0.104。模型相当准确。,问题2.如果八人艇分为重量级组和轻量级组，规定重量级组运动员体量为86公斤，轻量级组运动员体重为73公斤。表列八人艇是重量级组的成绩,请推断轻量级组的成绩。设：轻量级组的运动员体重,划艇浸没面积,艇速和成绩分别为 W1,S1,v1,T1,相应的重量级组为 W2,S2,v2,T2。,根据前面得到的艇速的模型，有 v1=k(nW1/S1)1/3，v2=k(nW2/S2)1/3.,根据浸没面积与排水体积的模型可知，有,可得(W2/W1)1/9(T1/T2)(W2/W1)1/3.,由于 W2/W1=86/73=1.178,则有 1.018(T1/T2)1.056，,5.940 T2 6.162,习题:1.调查包装类似但多少不同的三种同一商品各两组,组建模型描述包装与价格的关系.2.雨滴匀速下降,空气阻力与雨滴表面积和速度平方的乘积呈正比.建模描述雨速与雨滴质量的关系.3.动物园里的成年热血动物靠饲养的食物维持体温不变.给出合理的简化假设建立动物的饲养食物量与动物的某个长短尺寸之间的关系.,
