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1、第五章 弯曲内力,5.1 对称弯曲,5.2 剪力与弯矩,5.3 剪力方程 弯矩方程 剪力图 弯矩图,5.4 剪力、弯矩和分布载荷集度间的关系,5.5 刚架的弯曲内力,5.1 对称弯曲,一、工程实例,1、受力特点,横向外力作用在与杆件的纵向对称面（形心主惯性平面）内。,2、变形特点,杆件的轴线在纵向对称面内弯曲成一条平面曲线，这种弯曲称为对称弯曲。,二、基本概念,以弯曲为主要变形形式的杆件称为梁。,思考？,2、可活动的铰支座,1、固定铰支座,3、固定端,三、支座分类,限制沿支承面水平和垂直方向的移动。,限制杆件沿垂直于支承面方向的移动。,限制杆件沿支承面水平和垂直方向的移动和绕固定端点的转动。,
2、四、载荷分类,1、集中载荷载荷的作用范围远小于杆件轴向尺寸。,2、分布载荷沿轴向连续分布在杆件上的载荷，常用q表示单位长 度上的载荷,称为载荷集度.如风力,静水压力,重力.,3、集中力偶M（Nm）,一般由力系简化可得，如圆锥齿轮。,特例：均布载荷，线性分布载荷，如水对坝的压力,轴线：杆件横截面形心的连线。,用轴线代替实际杆件,五、梁的计算简图,静定平衡梁的支反力数目与平衡方程式的数目相同则为静定梁.,1、简支梁 一端为固定铰支座一端为活动铰支座。,2、外伸梁 一端或两端向外伸出的简支梁。,注：组合梁，由上述三种简单静定梁彼此铰接而成。,3、悬臂梁 一端固定支座一端自由。,六、静定梁的基本形式,
3、注:弯矩和扭矩的比较共同点:力偶矩不同点:作用面和所绕的轴不同;作用不同,抵抗扭转还是弯曲.,一、梁的内力的引入,例：悬臂梁截面内的内力,Fs(x),剪力Fs(x):抵抗剪切作用的内力,是与横截面相切的分布内力系的合力.,弯矩M(x):抵抗弯曲作用的矩,是与横截面垂直的分布内力系的合力偶矩.,M(x),5.2 剪力和弯矩,（梁截面上的两内力，由截面法求解）,步骤：,（1）先求约束反力FAy、FB；,（2）由截面法求横截面上的内力；,（如：求 m m 截面的内力）,二、梁的内力计算,1.剪力：,2.弯矩：,左上右下为正,左顺右逆(上凹下凸)为正,剪力和弯矩的正负号规定,按截面处的梁微段的变形规定
4、,+,+,剪力和弯矩的正负号应用,1.剪力,绕梁微段顺时针转动的 剪力FS为正，反之为负。,左侧梁截面：向下的FS为正，向上的FS 为负；,右侧梁截面：向上的FS 为正，向下的FS 为负。,2.弯矩,使梁微段发生上凹下凸变形 的弯矩 M 为正，反之为负。,左侧梁截面：逆时针转向的弯矩M为正 顺时针转向的弯矩M为负,右侧梁截面：顺时针转向的弯矩M为正 逆时针转向的弯矩M为负,解：,（1）先求约束反力,（2）求指定截面Fs和M,22截面：,取左段梁,取右段梁,11截面：,例：图示简支梁，已知：试求指定截面的剪力FS和弯矩M。,11截面：,取左段梁,取右段梁,22截面：,注:,当取截面较多时，可以“
5、总结规律，加以提炼”。,从FS1=FA-F知：FS 在数值上等于一侧外力的代数和。,由M1=FA x-F(x-a)知:M在数值上等于一侧外力对该截面形心力矩的代数和.关键在于确定外力符号。,规律：,横截面上的剪力=此截面左侧（或右侧）梁上所有外力的代数和.,左侧梁：向上的外力取正值，向下取负值,右侧梁：向下的外力取正值，向上取负值,横截面上的弯矩=此截面左侧（或右侧）梁上所有外力对 该截面形心的力矩的代数和,计算剪力和弯矩的规律总结：,外力对剪力的影响：左上右下为正力偶对弯矩的影响：左顺右逆为正外力对弯矩的影响：只要向上的外力便产生正的弯矩。,外力、外力偶对弯曲内力符号的影响,FS,M,左侧,
6、右侧,+,+,+,+,+,-,例：图示外伸梁，试求指定截面的内力。,解：,（1）先求约束反力,（2）求剪力,（3）求弯矩,或,5.3 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图,一、剪力方程与弯矩方程,x 表示梁横截面的位置。,二、剪力图与弯矩图,以纵坐标表示剪力(FS)与弯矩(M)，横坐标 x 表示梁横截面的位置，得到的剪力和弯矩的变化曲线，称为剪力和弯矩图。,剪力方程,弯矩方程,表示剪力和弯矩沿梁轴线变化规律的代数方程。,要将剪力图和弯矩图画在梁受力图的正下方，而不要画在其它地方。这样就可以很方便地了解梁中内力的变化规律，以及得到梁中任意截面上的剪力和弯矩值。有集中载荷（力和力偶）或外力不连续处，
7、则要分段。,作图时请注意：,例1,已知:P、l,求：梁的剪力图和弯矩图。,解：,1.剪力方程和弯矩方程：,FS(x)为一常量,2.绘出剪力图和弯矩图,水平直线,斜直线,例2,解：,1.先求约束反力：,已知:q、l,求：梁的FS图和M图。,2.列剪力方程和弯矩方程：,3.画剪力、弯矩图,求弯矩的极值点（抛物线顶点）：,斜直线,二次抛物线,例3,画出图示梁的FS 图和M图。,解：,1.列剪力方程和弯矩方程：,2.画剪力、弯矩图,斜直线,二次抛物线,例4,解：,（1）先求出约束反力：,（2）剪力方程和弯矩方程：,（3）画剪力图和弯矩图,CB段：,画出图示梁的FS 图和M图。,AC段：,例5,解：,画
8、出图示梁的FS 图和M图。,（1）先求出约束反力：,（2）剪力方程和弯矩方程：,AC段：,CB段：,（3）画出剪力、弯矩图,小 结：,结论：,凡是集中力（包括支反力）作用处，剪力图有突变，突变值即为该处集中力的大小；,在集中力偶作用处，弯矩图有突变，突变值即为该处集中力偶矩的大小；,剪力图为0次曲线时，弯矩图为1次曲线；剪力图为1次时，弯矩图为2次曲线；,图示外伸梁。q=2kN/m，P=3kN。试列出剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。,解：,（1）求约束反力；,（2）列剪力和弯矩方程；,AB段：,BC段：,（3）作剪力和弯矩图；,极值点,例6,5.4 载荷集度、剪力和弯矩的关系,图示简支
9、梁，建立如图坐标系。,约定：,分布力q向上为正，向下为负。,由梁的微段平衡，,一、微分关系的导出,（1）FS图上各点的斜率等于梁上对应位置处的分布载荷集度,（2）M图上各点的斜率等于梁上对应截面上的剪力,（3）由q的正负判断M图的凹凸性。,二、各微分方程的物理意义,1、当 q=0 时,FS=常量,FS 为水平线；M 为斜直线,FS 0时，M图,FS 0时，M图,FS=0时，M图,2、当q=常量（均布载荷）,当q0（向上）,M图,M图,FS 图,当q0（向下）,FS 图,FS为斜直线；M 为二次曲线,三、推论（即载荷集度、剪力和弯矩的关系）,此处 M 取极值,3、若梁的某一截面上,即：弯矩的极值
10、发生在剪力为零的截面上。,记忆：弯矩图的开口方向与q(x)指向一致。,4.集中力P作用处,FS 图突变，突变值等于P值,M 图斜率突变，形成一个转折点,P 向下，FS 图向下突变。,P 向上，FS图向上突变；,5.集中力偶 m 作用处，,FS 无变化；,M 有突变，突变值为m。,从左向右画：,从左向右画：,m顺时针，M图向上突变；,m逆时针，M图向下突变。,6.端部铰链和自由端处，若无集中力偶作用，则 M=0,|FS|=端部的横向外力数值。,例：画出图示外伸梁的 FS、M 图。,解：,（1）先求约束反力；,（2）从左到右作剪力图；,AC段：,水平直线,斜直线,FS 右=3.5kN,CB段：,下
11、斜直线,BD段：,斜直线,A点,FS图向上,B点,FS 右=FS B左+FB=6kN,FS 图向上,（3）从左到右作弯矩图；,AC段：,斜直线,（3）从左到右作弯矩图；,AC段：,C点,M图向下,CB段：,下凹抛物线,由FS 图确定FS=0的截面位置：,BD段：,下凹抛物线,D点为顶点,例：画出图示外伸梁的 FS、M 图。q=20 kN/m，m=20kNm，a=1m,解：,1.先求约束反力：,2.从左到右作剪力图；,CA段：,均布载荷，FS为斜直线；,AD段：,无横向载荷，FS为水平直线，,A截面FS有向上突变，突变值为FA；,DB段：,无横向载荷，FS为水平直线，,3.从左到右作弯矩图,CA
12、段：,向下均布载荷，M为向下凹的抛物线，中间无极值点；,AD段：,无横向载荷，M为向上的斜直线,DB段：,M为向上的斜直线。,D截面有逆时针转向集中力偶m，M 有向下突变，突变值为m；,例,图示组合梁。试作剪力图和弯矩图。,解：,1.求约束反力；,2.绘制剪力图,3.绘制弯矩图,m,m,5.5 刚架的弯曲内力,一、概念,连结点C 处截面不能发生相对转动，这种节点称为刚节点。,由刚节点联接而成的框架结构称为刚架。,二、刚架的内力计算,(1)由平衡条件可求支反力：,(2)截面法求内力:,刚架的内力：,轴力FN,剪力Fs,弯矩M,拉为正，压为负；,使杆件微段发生顺时针转 动的Fs 为正，反之为负；,画在梁的受压侧。,三、刚架的内力图,FN图,Fs 图,M图,例：作图示刚架的轴力图、剪力图、弯矩图。,例：作图示刚架的轴力图、剪力图、弯矩图。,例：作图示刚架的弯矩图。,例：作图示刚架的弯矩图。,例：图示曲杆，其轴线为圆形，写出其轴力、剪力和弯矩方程式，并作弯矩图。,解：,第五章结束了！,
