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1、第五章 弯曲应力,5-1 对称弯曲的概念及梁的计算简图,一、弯曲的概念,受力特点：杆件在包含其轴线的纵向平面内，承受垂直于轴线 的横向外力或外力偶作用。变形特点：杆件的轴线由直线变为曲线。,梁：以弯曲为主要变形形式的构件称为梁。梁的纵向对称面：梁的横截面竖向对称轴与梁的轴线组成的平面。,楼板,传动轴,二、工程实例,非对称弯曲：若梁不具有纵向对称面，或者梁虽然具有纵向对称面但外力并不作用在纵向对称面内，这种弯曲统称为非对称弯曲。,三、弯曲的分类,平面弯曲：当外力作用在纵向对称平面内时，梁发生弯曲变形后，轴线也将保持在此对称平面内，梁的轴线成为一条平面曲线，这种弯曲叫做对称弯曲，也称为平面弯曲。（
2、本章只解决平面弯曲问题）,(1)支座的基本形式,第四章 弯曲应力,四、梁的计算简图,悬臂梁,(2)梁的基本形式,简支梁,外伸梁,静定梁在竖直荷载作用下，所示梁的内力和反力均可由静力平衡方程求出。（图a，b，c）,(3)静定梁和超静定梁,超静定梁内力和反力不能完全由静力平衡方程确定。（图d，e）,第四章 弯曲应力,1）集中力。作用在梁上某点的横向力，常用单位为N或kN。2）集中力偶。作用在梁轴线上某点处，且矩矢垂直于梁的纵向对称平面（常用单位为Nm或kNm）。3）分布力。沿梁长度方向连续分布的横向力。分布荷载的大小可用单位长度上的荷载，即荷载集度q来表示，其常用单位为N/m或kN/m。,第四章
3、弯曲应力,（4）梁的荷载,5-2 梁的剪力和弯矩剪力图和弯矩图,一、梁的剪力和弯矩,梁在竖向荷载作用下，其横截面上的内力可以通过截面法求出来。,剪力FS：沿截面切线方向的内力。单位为N或kN,弯矩M：梁的横截面上作用在纵向平面内的内力偶矩。单位是N.m或kN.m,剪力、弯矩符号的规定,1剪力符号规定 截面上的剪力如果有使考虑的脱离体有顺时针转动的趋势则为正，反之为负。2弯矩符号规定 截面上的弯矩如果使考虑的脱离体下侧纵向纤维受拉为正，反之如果使考虑的脱离体上侧纵向纤维受拉为负。,二、内力计算,梁在截面mm上内力可由脱离体的平衡条件求得。根据左段梁的平衡条件，由平衡方程：,可得,对截面mm的形心
4、O取矩,可得,例题51 试求图a所示梁D截面上的剪力和弯矩。,解：（1）求支反力FRC和FRB（图b）。由平衡方程,，,解得,（2）计算D截面上的剪力FSD和弯矩MD,得,对截面mm的形心O取矩,得,（上侧纤维受拉）,(1)横截面上的剪力在数值上等于截面左侧或右侧梁段上外力的代数和。左侧梁段上向上的外力或右侧梁段上向下的外力将引起正值的剪力；反之，则引起负值的剪力。,第四章 弯曲应力,左端脱离体,右端脱离体,2）截面左侧梁段上顺时针转向的外力偶引起正值的弯矩，而逆时针转向的外力偶则引起负值的弯矩；截面右侧梁段上的外力偶引起的弯矩，其正负与之相反。,(2)横截面上的弯矩在数值上等于截面左侧或右侧
5、梁段上外力对该截面形心的力矩之代数和。,1）不论在左侧梁段上或右侧梁段上，向上的外力均将引起正值的弯矩，而向下的外力则引起负值的弯矩。,左端脱离体,右端脱离体,三、列方程作内力图,剪力方程和弯矩方程实际上是表示梁的横截面上剪力和弯矩随截面位置变化的函数式，它们分别表示剪力或弯矩随截面位置的变化规律。,例题52 图a所示的简支梁，在全梁上受集度为q的均布荷载作用，试作梁的剪力图和弯矩图。,解：（1）画此梁的内力图，求支座反力。利用平衡方程求得,取距左端为x的任意横截面左侧的梁段，则梁的剪力和弯矩方程分别为,（2）列内力方程,（3）最后由内力方程作内力图。,弯矩方程是x的二次函数，所以弯矩图是一条
6、二次抛物线。,剪力方程是x的一次函数，所以剪力图是一条倾斜直线段。,梁在梁跨中横截面上的弯矩值最大，为,而两支座内侧截面上的剪力值最大，,。,（a）剪力图,（b）弯矩图,例题53 图a所示的简支梁，在C点处受集中力F的作用，试作梁的剪力图和弯矩图。,解：（1）画此梁的内力图，求支座反力。利用平衡方程求得,对于BC段梁,对于AC段梁,（2）列内力方程,（3）最后由内力方程作内力图。,两段梁的弯矩图各为一条斜直线段。由图可见，集中力作用处横截面上的弯矩值为最大.,在集中力作用处剪力图发生突变，并且此突变值等于集中力的大小。,两段梁的剪力图各为一条平行于梁轴线的直线段。,例题5-4 图a所示简支梁受
7、集中荷载F 作用。试作梁的剪力图和弯矩图。,第四章 弯曲应力,解：1.求约束力,a,l,B,A,FRB,FRA,b,x,F,C,，,2.列剪力方程和弯矩方程,此梁上的集中荷载将梁分隔成AC和CB两段，两段内任意横截面同一侧梁段上的外力显然不同，可见这两段梁的剪力方程和弯矩方程均不相同，因此需分段列出。,对于AC段梁，其剪力方程和弯矩方程分别为,对于BC段梁，其剪力方程和弯矩方程分别为,3.作剪力图和弯矩图,如图b及图c。由图可见，在b a的情况下，AC段梁在0 xa的范围内任一横截面上的剪力值最大，；集中荷载作用处(x=a)横截面上的弯矩值最大，。,第四章 弯曲应力,(b),(c),4.讨论,
8、由剪力图可见，在梁上 的集中力(包括集中荷载和约 束力)作用处剪力图有突变，这是由于集中力实际上是将 作用在梁上很短长度x范围内的分布力加以简化所致。若将分布力看作在x范围内是均匀的(图a),则剪力图在x范围内是连续变化的斜直线(图b)。从而也就可知，要问集中力作用处梁的横截面上的剪力值是没有意义的。,第四章 弯曲应力,例题4-7 图a所示简支梁在C点受矩为Me的集中力偶作用。试作梁的剪力图和弯矩图。,第四章 弯曲应力,解：1.求约束力,2.列剪力方程和弯矩方程,此简支梁的两支座之间无集中荷载作用，故作用于AC段梁和BC段梁任意横截面同一侧的集中力相同，从而可知两段梁的剪力方程相同，即,第四章
9、 弯曲应力,x,x,至于两段梁的弯矩方程则不同：,AC段梁：,CB段梁：,第四章 弯曲应力,x,x,3.作剪力图和弯矩图,第四章 弯曲应力,如图可见，两支座之间所有横截面上剪力相同，均为。在ba的情况下，C截面右侧(x=a+)横截面上的弯矩绝对值最大，为（负值)。弯矩图在集中力偶作用处有突变，也是因为集中力偶实际上只是作用在梁上很短长度范围内的分布力矩的简化。,第四章 弯曲应力,三、弯矩、剪力与荷载集度之间的关系及其应用,1.M(x)、FS(x)、q(x)间微分关系导出,第四章 弯曲应力,第四章 弯曲应力,距左端为x处用相距dx的两个横截面，从梁中截出一个微段，因dx非常微小，所以在微段上的分
10、布荷载可以看作是均匀分布的，注意分布荷载取向上为正。假设在微段左右截面上的剪力和弯矩分别为：Fs(x)、M(x)和Fs(x)+dFs(x)、M(x)+d M(x)，如图所示。根据平衡条件，得:,整理后得 几何意义为：剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小。又由（矩心O为微段右侧截面的形心）得:整理后得 几何意义为：弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。由上两式可以得到,常见荷载下FS，M图的一些特征,第四章 弯曲应力,集中力作用处,集中力偶作用处,若某截面的剪力FS(x)=0，根据，该截面的弯矩为极值。,第四章 弯曲应力,利用以上各点，除可以校核已作出的剪力图和弯矩图是否正确
11、外，还可以利用微分关系绘制剪力图和弯矩图，而不必再建立剪力方程和弯矩方程，其步骤如下：(1)求支座约束力；(2)分段确定剪力图和弯矩图的形状；(3)求控制截面内力，根据微分关系绘剪力图和弯矩图；(4)确定|FS|max和|M|max。,第四章 弯曲应力,例题：一简支梁在其中间部分受集度为 q=100 kN/m向下的均布荷载作用，如图a所示。试利用弯矩、剪力与分布荷载集度间的微分关系校核图b及图c所示的剪力图和弯矩图。,第四章 弯曲应力,x,而根据 可知，AC段内的剪力图应当是水平直线。该段内梁的横截面上剪力的值显然为,1.校核剪力图,解：此梁的荷载及约束力均与跨中对称，故知约束力FA，FB为,
12、第四章 弯曲应力,该梁的AC段内无荷载，,对于该梁的CD段，分布荷载的集度q为常量，且因荷载系向下而在微分关系中应为负值，即q=-100 kN/m。,第四章 弯曲应力,根据 可知CD段内的剪力图确应为向右下方倾斜的斜直线。由于C点处无集中力作用，剪力图在该处无突变，故斜直线左端的纵坐标确为100 kN。根据斜直线的斜率为，可证实D截面处的剪力确应为,对于该梁的DB段，梁上无荷载，故剪力图应该是水平直线；且由于D点处无集中力作用，剪力图在该处无突变，故该水平直线的纵坐标确为-100 kN。作为复核，显然支座B偏左横截面上的剪力就是,第四章 弯曲应力,2.校核弯矩图,这与图中所示相符。,该梁的AC
13、段内，剪力为常量，因而根据 常量可知此段梁的弯矩图应为斜率为 的正值的斜直线。据此，由支座A处横截面上的弯矩为零可知C截面处的弯矩为,第四章 弯曲应力,事实上，这个弯矩值也可根据,此式中的 从几何意义上来说，它就是AC段内剪力图的面积。,第四章 弯曲应力,通过积分来复核：,对于该梁的CD段，根据 可知：,弯矩图是如图(c)中所示曲率为负(即向下凸)的二次曲线。因为梁上C点处无集中力偶作用，故弯矩图在C截面处应该没有突变；,第四章 弯曲应力,由于C截面处剪力无突变，故CD段的弯矩图在C处的切线的斜率应该与AC段梁弯矩图在C处的斜率相等，即两段梁的弯矩图在C处应光滑连接。,第四章 弯曲应力,在剪力
14、为零的跨中截面E处，弯矩图切线的斜率为零，而弯矩有极限值，其值为,同样，根据 可知，,这些均与图(c)中所示相符。,第四章 弯曲应力,对于该梁的DB段，由于剪力为负值的常量，故弯矩图应该是斜率为负的斜直线。因为梁上D点处无集中力偶作用，故弯矩图在D截面处不应有突变，再考虑B支座处弯矩为零，即可证实图(c)中此段梁的弯矩图也无误。,第四章 弯曲应力,已知：图中梁的约束力为,思考：试指出图示三根梁各自的剪力图和弯矩图中的错误。,正确答案：,第四章 弯曲应力,(a),图中梁的约束力为,正确答案：,第四章 弯曲应力,(b),图中梁的约束力为,正确答案：,第四章 弯曲应力,(c),四、按叠加原理作弯矩图
15、,第四章 弯曲应力,(1)在小变形情况下求梁的约束力、剪力和弯矩时，我们都是按梁未变形时的原始尺寸进行计算的，例如对于图a所示悬臂梁，其剪力方程和弯矩方程分别为,第四章 弯曲应力,(a),这就是说，在小变形情况下，此梁横截面上的剪力和弯矩分别等于集中荷载F和均布荷载q单独作用时(图b和图c)相应内力的代数和叠加。因此该梁的剪力图和弯矩图也就可以利用叠加的方法作出。,第四章 弯曲应力,(a),(2)叠加原理 当所求参数(约束力、内力、应力或位移)与梁上(或结构上)荷载成线性关系时，由几种荷载共同作用所引起的某一参数之值，就等于每种荷载单独作用时所引起的该参数值的叠加。,第四章 弯曲应力,(3)示
16、例 图a所示受均布荷载q并在自由端受集中荷载 作用的悬臂梁，其剪力图和弯矩图显然就是图b和图c所示，该梁分别受集中荷载F和均布荷载q作用时两个剪力图和两个弯矩图的叠加。,第四章 弯曲应力,第四章 弯曲应力,第四章 弯曲应力,图d为直接将图b和图c中两个弯矩图叠加后的图形，将图中斜直线作为弯矩图的水平坐标轴时，它就是图a中的弯矩图。,作剪力图时虽然(如上所示)也可应用叠加原理，但由于梁上通常无集度变化的分布荷载，而剪力图由直线段组成，作图比较简单，故往往只说按叠加原理作弯矩图。,由图a可见，该梁横截面上的最大剪力为(负值),最大弯矩为(负值)，而极值弯矩 并非最大弯矩。,第四章 弯曲应力,4-3
17、 平面刚架和曲杆的内力图,一、平面刚架,平面刚架：由同一平面内不同取向的杆件相互间刚性连接的结构。,平面刚架杆件的内力：当荷载作用于刚架所在平面内时，杆件横截面上的内力除剪力和弯矩外，还会有轴力。,第四章 弯曲应力,作刚架内力图的方法和步骤与梁相同，但因刚架是由不同取向的杆件组成，习惯上按下列约定：弯矩图，画在各杆的受拉一侧，不注明正、负号；剪力图及轴力图，可画在刚架轴线的任一侧（通常正值画在刚架外侧），但须注明正负号；剪力和轴力的正负号仍与前述规定相同。,第四章 弯曲应力,例题4-13 试作图a所示刚架的内力图(即作出组成刚架的各杆的内力图)。,第四章 弯曲应力,(a),各杆的内力方程为：,
18、解：此刚架的C点为自由端，故求内力时如取包含自由端的那部分分离体作为研究对象，则可不求固定端A处的约束力。,第四章 弯曲应力,(a),绘内力图时，轴力图和剪力图可画在各杆的任一侧，但需注明正负号(图b及图c)；弯矩图则画在杆件弯曲时受拉的一侧(图d)。,第四章 弯曲应力,(a),作为校核可取该刚架的结点B为分离体，标出结点处的外力及内力，考察结点是否满足平衡条件。,第四章 弯曲应力,(a),二、平面曲杆,平面曲杆的横截面系指曲杆的法向截面(亦即圆弧形曲杆的径向截面)。当荷载作用于曲杆所在平面内时，其横截面上的内力除剪力和弯矩外也会有轴力。,第四章 弯曲应力,图a所示A端固定的半圆环在B端受集中荷载F作用时，其任意横截面m m上的内力有,此即内力方程。根据内力方程将内力值在与q 相应的径向线上绘出，即可得到内力图，如图b，图c及图d。,第四章 弯曲应力,第四章 弯曲应力,总结,梁的内力图一般做法1.根据梁及梁的受力情况，求支座反力。2.将梁分段，依梁的受力情况，判断各段剪力图和弯矩图的形状。3.依剪力图和弯矩图的形状，计算控制截面的剪力值和弯矩值（特别计算极值弯矩），逐段绘制剪力图和弯矩图。4.检查。,
