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1、信息光学复习,第一部分：基本概念,二维傅里叶变换,函数f(x,y)在整个x-y平面上绝对可积且满足狄氏条件(有有限个间断点和极值点,没有无穷大间断点),定义函数,f(x,y):原函数,F(fx,fy)是f(x,y)的,频谱函数,F(fx,fy)一般是复函数,F(fx,fy)=A(fx,fy)e jf(fx,fy),线性系统,线性系统的定义:,设:g1(x2,y2)=f1(x,y)，g2(x2,y2)=f2(x,y),且对于任意复常数a1 和a2，有：,若系统对几个激励的线性组合的整体响应，等于单个激励所产生的响应的线性组合，则该系统称为线性系统。,则称该系统 为线性系统。,a1 f1(x,y)
2、+a2 f2(x,y)=a1 g1(x2,y2)+a2 g2(x2,y2),系统对输入的脉冲函数产生的输出称为脉冲响应.,若输入脉冲发生位移时,线性系统的响应函数形式不变，仅造成响应函数相应的位移，即：,这样的系统称为线性空不变系统。,线性不变系统,脉冲响应函数的F.T.称为传递函数,=h(x,y),线性空不变系统的输入输出关系：,空域：,抽样定理,抽样定理：,若函数g(x,y)不包括高于Bx 和By 的频率分量,则此函数可以由一系列间隔(X,Y)等于或小于1/(2Bx)和1/(2By)处的函数值完全决定.,原函数抽样时,在x方向和y方向抽样点的最大间隔 X 1/(2 Bx)和Y 1/(2 B
3、y)，称为奈奎斯特(Niquest)间隔.或者说，抽样频率不能低于2Bx和2By,平面波的空间频率,u(P,t)=a(P)cos2pnt-j(P),对于携带信息的光波,感兴趣的是其空间变化部分.故引入复振幅U(P):,将光场用复数表示,有利于将时空变量分开、简化运算:,=ea(P)e jj(P).e-j2pnt,U(P)=a(P)e jj(P),U(P)同时表征了空间各点的振幅|U(P)|=|a(P)|和相对位相arg(U)=j(P),对于单色平面波，j(P)=k.r,对于单色球面波，j(P)=kr,平面波在x和y方向的空间频率分别为:,cosa,cosb 为波矢的方向余弦,复振幅变化空间周期
4、的倒数称为空间频率,菲涅耳衍射的三种表示,U(x0,y0)*hF(x,y)=U(x,y),A0(fx,fy)HF(fx,fy)=A(fx,fy),F.T.表达,U(x,y),菲涅耳衍射（求衍射场的表达式及其强度分布的近似方法）,菲涅耳衍射等效于线性空不变系统,系统的脉冲响应是:,系统的传递函数是:,exp(jkz)exp-jplz(fx2+fy2),夫琅禾费衍射,除了一个与传播距离z及观察面坐标有关的位相因子以外,在给定距离z的平面上衍射场的分布正比于衍射屏透射光场的傅里叶变换,其振幅及变换的尺度与距离z有关.,衍射图样的光强分布:正比于孔径透射函数的功率谱:,衍射图样的复振幅分布：,透镜的位
5、相变换作用,定义透镜的复振幅透过率:,P2面是会聚球面波分布:,P1面是发散球面波分布：,透镜的相位变换因子：,透镜的傅里叶变换性质,不管衍射物体位于何种位置，只要观察面是照明光源的共轭面，则物面（输入面）和观察面（输出面）之间的关系都是傅里叶变换关系，即观察面上的衍射场都是夫琅和费型。,我们特别关注物在透镜前焦面,平面波照明（q=f,d0=f）的特殊情形。此时,用单色平面波照明物体，物体置于透镜的前焦面，则在透镜的后焦面上得到物体的准确的傅里叶变换。透镜的后焦面称为频谱面。,若成像系统的像质仅受有限大小光瞳的衍射效应所限制,则称为“衍射受限”系统(diffraction-limited sy
6、stem),衍射受限的相干成像系统点扩展函数是光瞳函数的傅里叶变换,衍射受限系统 线性空不变的成像系统,像的复振幅分布是几何光学理想像和系统点扩展函数的卷积：,衍射受限的成像系统,相干传递函数:相干成像系统点扩展函数的傅里叶变换,Hc 与系统结构 参数的关系:,对于实际光学系统，有一个由光瞳大小决定的有限通频带。比例变化(difx,dify)决定了截止频率f0.,非相干成像系统点扩展函数，也称为强度脉冲响应、强度点扩展函数，是点物产生的衍射斑的强度分布。,强度点扩展函数与相干成像系统点扩展函数的关系：,非相干成像的物像关系:,光学传递函数（OTF）:强度点扩展函数的归一化频谱,OTF的一般性质
7、,2*(fx,fy)=(-fx,-fy),即(fx,fy)是厄米函数。,实偶函数的F.T.是实偶函数,对于中心对称的光瞳(光瞳函数为实偶函数),OTF=MTF.,空频为f0,调制度为m的余弦条纹，经过非相干成像系统后,成为空频f0,调制度为 m|OTF|fx=f0的余弦条纹.这也是OTF的物理意义,由于|MTF|MTF(0,0)|=1,所以成像后的对比度一定下降。,全息的基本的思路,物光:O,参考光:R;二者干涉后形成干涉条纹的光强度 I：I(O+R)(O*+R*)将二波干涉图样记录下来就成为全息图。全息图的复振幅透过率:t(O+R)(O*+R*).展开后有4项,我们关注其中的2项：R*O和R
8、O*.,平面波形成的全息图称为全息光栅平面波与球面波，或球面波与球面波，形成的全息图称为全息波带片,设读出的照明光为C,则包含初始物光波的项CR*O称为原始像项,包含物光波的复共轭的项CRO*称为共轭像项。,全息图的分类,按记录介质的厚度分类:薄（平面型）全息图厚（体积型）全息图按透射率函数的性质分类:振幅型 位相型 混合型按记录和再现的光路配置分类：透射型反射型按再现照明条件分类：激光再现白光再现,按记录介质相对物体的位置分类：菲涅耳全息图（记录介质相对物体的距离满足菲涅耳近似，得到的全息图）像面全息图夫琅和费全息图傅里叶变换全息图（利用透镜的傅里叶变换性质，产生物体的频谱，并引入参考波与之
9、干涉，得到的全息图）,相干光学信息处理,最基本的系统：,空间滤波：在频谱面放置滤波器，改变物的空间频谱结构,进而改变像的分布,低通滤波器:允许通过的频率有一上限截止频率f0在|频率|f0 的区间内信号能无畸变地通过,此外全部阻塞.高通滤波器:允许通过的频率有一下限带通滤波器:只通过某特定频带内的频率分量,滤波器的分类和应用举例,简单的振幅滤波器,复杂的滤波器,低通滤波器:允许通过的频率有一上限截止频率f0在|频率|f0 的区间内信号能无畸变地通过,此外全部阻塞.消除图像中的高频噪声，激光束的空间滤波等高通滤波器:允许通过的频率有一下限像边缘增强等带通滤波器:只通过某特定频带内的频率分量 从半色
10、调像中消除网纹等，方向滤波,位相滤波器:只改变傅里叶频谱的位相分布，不改变它的振幅分布，其主要功能是用于观察位相物体-相衬显微镜光栅滤波器 正交朗奇光栅：产生输入图像的多重像；一维余弦光栅：实现图像相加、相减；复合光栅：实现图像相加、相减、微分。匹配滤波器:实现输入与目标图像的相关运算。,第二部分：基本技能,简单和复合孔径的数学描述,矩孔、圆孔、单缝、位相板等；它们的中心位置、缩放比例及其它参数,ejp,d(x-x0),简单和复合孔径的数学描述,多孔、多缝、线光栅、余弦光栅等；它们的各种参数,线光栅的线间距,多缝和矩形光栅的缝宽、缝间距、缝数,余弦光栅的空间频率、调制度、尺寸,会用单个孔径函数
11、与d-函数或梳状函数的卷积表示重复性的孔径,脉冲函数的运算,乘积性质：,设f(x)在x0点连续,则:f(x)d(x-x0)=f(x0)d(x-x0),任意函数与d-函数的乘积,是幅度变化了的d-函数,f(x)*d(x-x0)=f(x-x0),包含脉冲函数的卷积:,任意函数与d-函数的卷积,是将该函数位移到d-函数所在的位置,切勿混淆！,卷积和相关的运算,有限宽度的两个函数，卷积后的宽度通常是两函数宽度的和,卷积的位移不变性：若f(x)*h(x)=g(x),则 f(x-x0)*h(x)=g(x-x0)或 f(x)*h(x-x0)=g(x-x0),f(x)*d(x-x0)=f(x-x0),包含脉冲
12、函数的卷积:,基本卷积：rect(x)*rect(x)=tri(x),相关运算主要化为卷积进行，并结合OTF性质和匹配滤波,常用基本函数的傅里叶变换和逆变换,常用基本函数的傅里叶变换和逆变换,要求会利用傅里叶变换的性质和卷积定理，借助图解，计算较复杂函数的卷积和傅里叶变换,利用傅里叶变换的性质和定理求较复杂函数的傅里叶变换和卷积,空间缩放:,平移定理,频率位移,卷积定理,会用图解表示,可分离变量函数的变换：若 g(x,y)=g1(x)g2(y),例：sinc(ax)*sinc2(bx),平面波和球面波复振幅的数学描述,平面波：,注意A,k,a,b,q 各代表什么，如果给定的是光强度，应当如何表
13、示,球面波：,已将球面波中心S取在 z0=0的平面,且光波沿 z 轴正方向传播.如果 z 0,上式代表从 S 发散的球面波.如果 z 0,上式代表向 S 会聚的球面波.,简单孔径和光栅的夫琅和费衍射图样,计算和画图,照明条件：振幅为A的单色平面波垂直照明,透镜焦平面复振幅分布:,若仅考察后焦面上的光强度分布,则,是物体分布t(x0,y0)的能量谱密度.,要会做单缝、双缝、矩孔、矩形光栅、余弦光栅等,简单光瞳的相干/光学传递函数及相应的截止频率,非相干截止频率是相干截止频率的2倍,例：出瞳为边长 l 的正方形:,相干截止频率:,相干传递函数:,光学传递函数:,会画沿某一方向这些传递函数的截面图。
14、注意光瞳位置改变引起传递函数的变化,全息图的记录与再现 波前记录,曝光光强为:,I(x,y)=U(x,y)U*(x,y)=O2+R2+OR*+O*R,全息干板H上设置x,y坐标，,全息图的透过率函数tH 与曝光光强成正比：,tH(x,y)=|O2+R2+OR*+O*R,全息图的记录与再现 波前再现：全息学基本方程,用照明光波 C(x,y)=C 0(x,y)exp jfc(x,y)照射全息图,=C0(O02+R02)expjfc(x,y)+C0O0R0expj(fofr+fc)+C0O0R0exp-j(fofrfc),U(x,y)=C0(x,y)expjfc(x,y)|O|2+|R|2+OR*+
15、O*R,与再现光相似,第三部分：综合能力,=,用解析法和图解法处理线性空不变系统的输入输出问题,*,=,空域,频域,用解析法和图解法处理衍射受限系统的成像问题,给出物函数（复振幅或光强透射率），会写出其频谱函数；给出光学系统参数，会写出其相干传递函数或光学传递函数，画出草图，算出相应的截止频率；计算像（复振幅或强度）的频谱，再反算出相应的空间分布，或用图表示；相干照明下，由像的复振幅分布再求像强度.非相干照明下，可由特定空频的余弦分量的MTF值，直接求相应的像条纹的调制度。,注意区分相干照明和非相干照明,全息图的记录与再现,记录：关键是正确写出物光O和参考光R的复振幅表达式；二者干涉后形成全息
16、图的复振幅透过率正比于(O+R)(O*+R*)。展开后有4项,我们关注的是其中的2项：R*O 和 RO*；涉及全息光栅制作，由（R*O+RO*）可获得光栅空频的信息；结合0级项可得到光栅调制度 再现涉及全息透镜的问题：设再现的照明光为垂直入射的平面波，直接考察R*O 和 RO*；涉及全息光栅的衍射问题：结合透镜的傅里叶变换性质如果涉及变波长使用的问题，即记录时的波数为k0,再现时的波数为k1，要将再现时衍射级的位相函数由expjk0()的形式改写成expjk1()的形式。,相干光学处理,图像相减的原理与方法图像识别的原理与方法图像消模糊的原理与方法,非相干光学处理,基于几何光学的非相干处理（了
17、解）基于衍射的非相干处理白光信息处理,习题,【1-1】（b）,函数表达式：,【1-3】（3）,4,x,【1-4】（1）,【1-4】（3）,【1-6】试用卷积定理计算,【1-7】（2）,1-14 求FP(x,y),若,画出p(x,y)图形，并求P(fx,fy),快速抢答！,常用孔径的透过率函数,圆孔：,线光栅：,矩孔：,余弦型振幅光栅：,菲涅耳衍射的传递函数（频域）,菲涅耳衍射的脉冲响应函数（空域）,选择填空！,菲涅耳衍射的F.T.表达式（空域）,夫琅和费衍射图样的光强分布,2-6.设用单位振幅的平面波垂直照明下图所示的双孔，求其夫琅和费衍射图样的强度分布；并画出衍射强度沿x轴和y轴的截面图。设
18、X/lz=10m-1，Y/lz=1m-1，/lz=3/2m-2，z是观察距离，是照明光波波长。,解：如图所示的双矩形孔的透过率函数为：,单位振幅的单色平行光垂直照射时的透射光场为：,则其夫琅和费衍射光场为：,其中：,，,当,时，即,处分布着光强的极小点,当,时，y轴上的强度分布为：,当,，且,时，即,且,处分布着光强的极小点,而当,时，即,处分布着光强的极大点；,并在,处的极大点发生缺级现象。,作业2.7,一.薄透镜的位相调制作用,采用单色平面波照明，透镜后焦平面上的光场分布：,二.透镜的傅立叶变换性质,三.傅立叶透镜的截止频率,四、衍射受限系统的点扩展函数,五、衍射受限相干成像系统的传递函数
19、,系统的截止频率：,六、衍射受限非相干成像系统的传递函数,【3-4】将尺寸为 的一个透过率为连续变化的物体放在一个傅里叶变换透镜的前焦平面上进行傅里叶变换，若已知照明光波波长为500nm，要求在频谱面上所得到的强度分布中在频率140线/mm以下的强度能够真实反映原物函数的功率谱，并要求频率在140线/mm与20线/mm在频谱面上的间隔为30mm，求透镜的孔径和焦距各为多少？,【3-6】一物体的振幅透过率为一方波，通过一光瞳为圆形的透镜成像，透镜的焦距为10cm，方波的基频是1000线/cm，物距为20cm，波长为10-4cm。问在以下两种情况下：物体用相干光照明时;物体用非相干光照明时，透镜的
20、直径最小为多少，才会使像平面上出现强度的任何变化,解：对于方波，其强度透过率与振幅透过率相同，要使像平面上出现强度的变化，相干系统与非相干系统的截止频率都应大于物函数的基频f1，,物体成等大的实像，其像距为：di=20cm,1）采用相干照明时，系统的截止频率为：,要使像面上出现强度的任何变化，则：,2）采用非相干光照明，系统的截止频率为：,要使像面上出现强度的任何变化，则：,求(1)物体透射光场的频谱；(2)假定，问像平面上会出现强度变化的角最大值是多少？(3)假定用的倾斜角就是这个最大值，求此时像面强度分布。它与时的强度分布比较，情况如何？,解：,(1)倾斜单色平面波入射，在物平面上产生的入
21、射光场为:,则物平面的透射光场为：,它的频谱为：,(2)物的空间频谱仅包含三个频谱分量，欲使像面有强度变化至少要有两个频谱分量通过系统。相干照明下，系统的截止频率为,只有选择最低的两个频率分量，使它们在系统地通频带内，角才可能取尽量大的值。于是：,（3）此时只有两个最小的频谱通过系统，像的频谱为：,像面复振幅分布为：,光强分布为:,可见度较低，并且像中没有倍频成分。,【思考题3.1】光学传递函数在=0处都等于1,这是为什么?光学传递函数的值可能大于1吗?如果光学系统真的实现了点物成点像,这时的光学传递函数怎样?,由于采用物的零频对物谱进行归一，所以归一化的物零频为1，同样采用像的零频对像谱进行
22、归一，所以归一化的像零频为1，因此光学传递函数在=0处都等于1,光学传递函数的值不可能大于1。如果光学系统真的实现了点物成点像,这时的光学传递函数为1.,1）像的强度分布；,2）设光栅常数为d=0.01mm,l=10-4cm,l=2cm,f=5cm,试定性画出像强度分布图。,3-12 如图所示，衍射受限非相干成像系统，光阑缝宽为l，透镜的焦距和成像倍率分别为f 和M=1，照明光波长为l，如果物体是振幅透过率为 的理想光栅，试求：,非相干成像系统的物像关系：,解：,该成像系统的有效光阑为一狭缝，其光学传递函数为：,一维：,理想像强度频谱为：,归一化的理想像强度频谱为：,输出像的归一化频谱分布为：
23、,输出像的归一化频谱分布为：,d=0.01mm，l=10-4cm，l=2cm，f=5cm,系统的截止频率为：,理想像的基频为：,实际输出像的归一化频谱分布为：,实际输出像的归一化频谱分布为：,像面光场强度分布为：,6-2在4f系统输入平面放置 的光栅，入射光波长。为了使频谱面上至少能够获得 级衍射斑，并且相邻衍射斑间距不小于，求透镜的焦距和直径。,解:,光栅透过滤函数为:,其频谱为：,即谱点的位置由:,相邻衍射斑之间的间距：,由此得焦距为:,频谱面上 级衍射斑对应于能通过透镜的最大空间频率,所以透镜直径为：,6-7用CRT记录一帧图像透明片，设扫描点之间的间隔为0.2mm，图像最高空间频率为1
24、0线/mm。如欲完全去掉离散扫描点，得到一帧连续灰阶图像，那么空间滤波器的形状和尺寸应当如何设计？输出图像的分辨率如何？设傅立叶变换物镜的焦距为1000mm，波长为632.8nm.,分析：此题实质就是连续函数的抽样及恢复,解：抽样函数即扫描点函数的表达式为：,其频谱为：,其频谱为：,抽样后物体的频谱为：,频谱岛的位置为：,去掉点状结构，可采用低通滤波器，只让零频通过，其半径为：,去掉点状结构，可采用低通滤波器，只让零频通过，其半径为：,y1,y2,S,LC,L1,L2,P1,P2,P3,x1,x2,x3,y3,f,f,f,f,物平面,频谱面,像平面,能传递的最高空间频率为：,6-9在4f系统中
25、，输入物是一个无限大的矩形光栅，设光栅常数d=4,线宽a=1，最大透过率为1，如不考率透镜有限大小的影响，,（1）写出傅里叶平面P2上的频谱分布表达式；（2）写出输出平面上复振幅和光强分布表达式；（3）在频谱平面上放置一高通滤波器，挡住零频分量，写出输 出面上的复振幅和光强分布表达式；（4）若将一个p位相滤波器：放在p2平面的原点上，写出输出平面上的复振幅和光强的表达式。,光栅透过滤函数为：,其频谱为：,解：,其频谱为：,（2）未作任何滤波，输出场分布与输入场相同,即：,强度分布为：,（3）,其频谱为：,由于光栅为无穷大，零频分量为：,挡住零频分量，在空域中相当于挡住直流分量1/4,输出面上的
26、复振幅分布为：,强度分布为：,（4）若将一个p位相滤波器：放在p2平面的原点上，写出输出平面上的复振幅和光强的表达式。,滤波后频谱为：,输出面上的复振幅分布为：,强度分布为：,6-8某一相干处理系统的输入孔径为30mm30mm的方形,头一个变换透镜的焦距为100mm,波长是632.8nm.假定频率平面模片结构的精细程度可与输入频谱相比较,问此模片在焦平面上的定位必须精确到何种程度。,解：,系统的光瞳函数为：,设系统的输入面位于透镜的前焦面，透明片的复振幅分布为f(x,y),并且系统孔径有限，透镜后焦面上的光场分布为：,物函数包括各种频谱成分，但其受方孔的限制，频率平面上能分辨的细节由sinc函
27、数决定。,根据锐利判据，能分辨的两点之间的最小距离由sinc函数的半宽度决定，为：,由于频率平面模片也有同样的细节，故其对准误差最大也不许超过它的一半，约1um,7-1用Vander Lugt 方法来综合一个频率平面滤波器，如图（1）所示，一个振幅透射率为S(x,y)的“信号”底片紧贴着放在一个会聚透镜的前面，用照像底片记录后焦面上的强度，并使显影后底片的振幅透射率正比于曝光量。这样制得的透明片放在图（2）的系统中，假定在下述每种情况下考察输出平面的适当部位，问输入平面和第一个透镜之间的距离d应为多少，才能综合出：(1)脉冲响应为S(x,y)的滤波器？(2)脉冲响应为S*(-x,-y)的“匹配
28、”滤波器？,解：滤波器的制作,参考波是平面波，,物平面紧靠透镜,物光与参考光在记录平面相干叠加，光强分布为：,在线性记录条件下，经处理后的底片其复振幅透过滤正比于曝光强度，,将底片置于滤波系统中的频谱平面，输入为d函数，对其进行滤波。,采用平行光照明，物置于透镜前，透镜后焦面上的复振幅分布是衍射屏平面复振幅分布的傅立叶变换：,所以透镜后焦面场分布为：,透过频率平面模片的光场复振幅为：,（1）欲使系统是脉冲响应为(x,y)的滤波器，应使：,式中2-d/f=0即：d=2f,在此条件下，该项在输出平面上形成的复振幅分布为：,（）欲使系统是脉冲响应为(x,y)的滤波器，应使：,式中d=,在此条件下，该
29、项在输出平面上形成的复振幅分布为：,解：用单位振幅的平面波照明两张透明片，透过两张透明片的光场的复振幅分布在透镜的后焦面上形成的强度分布为：,用照相胶片记录（）式所表达的强度分布，从而可制得g=2的透明片，它的复振幅透过率为：,将制得的正透明片置于透镜前再次进行傅里叶变换，同样用单位振幅的平面波垂直照明，则透过透明片光场的复振幅分布在透镜后焦平面上形成的光场复振幅分布，在反演坐标系中可表示为：,第三项和第四项是有和的互相关，中心分别在（0，Y）和（0，Y）。,设函数h在y3方向的宽度为Wh，函数g在y3方向的宽度为Wg并假设WhWg，那么要使自相关和互相关分开，应满足,7-3在照相时，若照片的模糊只是由于物体在曝光过程中的匀速直线运动造成的，运动的结果使像点在底片上的位移为0.5mm。试写出造成模糊的点扩展函数；如果要对该相片进行逍模糊处理，试写出逆滤波器的透过率函数。,解：由于物体做匀速运动，一个点便模糊成一条线，因此在归一化条件下，具有模糊缺陷的点扩展函数：,其传递函数为：,其逆滤波器函数为：,
