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1、1,债务偿还Repaying Loans,2,债务偿还的两种方法,分期偿还法（amortization method）：借款人分期偿还贷款，在每次偿还的金额中，既包括当期应该支付的利息，也包括一部分本金。包括：等额，变额偿债基金法（sinking fund method）：借款人在贷款期间分期偿还贷款利息，并要积累一笔偿债基金，用于贷款到期时一次性偿还贷款本金。包括：等额，变额,3,5.1、等额分期偿还,在等额分期偿还法中，需要解决的问题包括：（1）每次偿还的金额是多少？（2）未偿还的本金余额（loan balance）是多少？（3）在每次偿还的金额中，利息和本金分别是多少？,4,1每次偿还的
2、金额,贷款的本金是 L0期限为 n 年年实际利率为 i每年末等额偿还R则每次偿还的金额 R 可表示为,5,2未偿还本金余额,问题：假设贷款的本金是L0，期限为n年，年实际利率为i。每次偿还的金额R。确定 t 时刻尚未偿还的贷款。方法：将来法（prospective method）过去法（retrospective method）,6,方法一：将来法（prospective method）把将来需要偿还的金额折算成计算日（k 时）的现值，即得未偿还本金余额。第k期末，将来还需偿还(n k)次，故未偿还本金余额为,7,方法二：过去法（retrospective method）从原始贷款本金的积累值
3、中减去过去已付款项的积累值。原始贷款本金为，积累到时刻k的值为 已经偿还的款项到时刻k的积累值等于，所以未偿还本金余额为,8,命题：将来法与过去法等价，即：证明：,（过去法）,（将来法）,9,例：,现有一笔10万元的死亡保险金，受益人选择每月末领取，年实际利率为3%，25年领完。在受益人领取10年后，实际利率提高到5%，请计算在后15年，受益人每月可以增加多少保险金？,10,3、每期偿还的本金和利息,基本原理：在分期还款中，首先偿还利息，然后偿还本金。,设第 t 次的还款额为 R，利息部分为 It，本金部分为Pt，记 Lt 为第t次还款后瞬间的未偿还贷款余额，则有,11,分析：利息，本金，余额
4、，一般公式,递减,几何递增,将来法,12,例：30年贷款，贷款利率6，每年还款30000元，本息图示如下：,13,例：,一笔1万元的贷款，期限是5年，年实际利率为6%，每年末等额分期偿还。试计算下列各项：每年末偿还的金额？每年末的未尝还本金金额？在每年偿还的金额中，利息和本金分别是多少？,14,例：一笔贷款的期限为2年，年实际利率为6%，每季度等额偿还一次，如果第一年末偿还的本金为2000元，试计算在第二年末应该偿还的本金。解：已知年实际利率为6%，故季度实际利率为i=(1+0.06)0.25 1=0.01467 第四次偿还的本金：P4=Rv84+1=Rv5 第八次偿还的本金：P8=Rv88+
5、1=Rv 所以P8/P4=v4=(1+i)4，即 P8=P4(1+i)4=2000(1.01467)4=2120（元）,15,另一种解法：在第一年末（即第 4 次付款）偿还的本金为Rvnk+1=R(1.01467)(84+1)=0.9298R令上式等于第一年末偿还的本金2000元，即得每次偿还的金额为R=20000.9298=2151故在第二年末（第8次付款）偿还的本金为Rvnk+1=2151(1.01467)(88+1)=2120（元）,16,5.2、等额偿债基金,含义：借款人分期偿还贷款利息，同时积累一笔偿债基金，用于贷款到期时一次性清偿贷款本金。例：假设某人从银行获得10000元的贷款，
6、期限为年，年利率为%。双方约定：（）借款人每年末向银行支付600元利息；（）借款人在银行开设一个存款帐户，每年末向该帐户存入1791.76元，该帐户按5.5的利率计算利息。到第年末，该帐户的累计余额正好是10000元，用于偿还贷款本金。借款人在银行开设的该帐户就是偿债基金（sinking fund）。,17,偿债基金的性质,名义上：偿债基金归借款人所有，供借款人在贷款到期时一次性清偿贷款本金。实际上：由银行掌握，借款人不能动用这笔资金。偿债基金的积累过程，也就是本金的偿还过程。因此，从原始贷款金额中减去偿债基金的累积值，就是“贷款净额”。,18,等额偿债基金法需要解决的问题,借款人在每年末的付
7、款总金额，包括：向偿债基金的储蓄额支付贷款利息每年末的贷款净额。借款人每年实际支付的利息。,19,符号:,L0 原始贷款本金i 贷款年利率n 贷款期限I 借款人在每年末名义上支付的利息，即 I=iL0 j 偿债基金的利率D 借款人每年末向偿债基金的储蓄额,20,假设借款人每年末向偿债基金的储蓄额为D，则,因此，借款人在每年末的付款总金额为,借款人在每年末的付款总额：,21,第 k 年末的贷款净额为,偿债基金在第 k 年末的累积值为,每年末的贷款净额：,22,偿债基金在第 k 年初的余额（已经偿还的本金）为,它在第 k 年所产生的利息为,借款人在第 k 年末实际支付的利息金额应为,借款人每年实际
8、支付的利息：,23,特例：偿债基金利率 j=贷款利率 i,当 j=i 时，借款人在每年末支付的总金额为,（等额分期偿还金额）,因为,结论：当 j=i 时，等额分期偿还法=等额偿债基金法,24,问题：对借款人而言，下列哪种方法更加有利？分期偿还法：贷款利率为 i偿债基金法：贷款利率为 i，偿债基金利率为 j，i j答案：等额分期偿还更加有利。,25,例,假设：两笔贷款的本金均为10000元，期限均为5年，但偿还方式不同：第一笔：采用偿债基金方法偿还，贷款利率为6%，偿债基金利率为5%。第二笔：采用等额分期方法偿还。问题：当第二笔贷款的利率为多少时，两笔贷款对借款人而言是等价的。,26,对于第一笔
9、贷款（偿债基金法），借款人在每年末需要支付的金额为,27,对于第二笔贷款（分期偿还法），假设其利率为r，则借款人在每年末需要支付的金额为,令此式等于2409.75，则有,r=6.552%,注：在两种方法等价的情况下，等额分期偿还法的贷款利率（6.552%）大于偿债基金法中的贷款利率（6%）。,28,等价利率的一种近似解法：,与偿债基金法等价的分期偿还利率 r 可近似表示为,r=i+0.5(i j),在上例中，近似的等价利率为r=6%+0.5(6%5%)=6.5%,偿债基金法的贷款利率,借款人在偿债基金中损失的利率。每1元贷款的平均余额近似为0.5元。,真实利率 r=6.552%,29,等额分期
10、偿还与等额偿债基金的比较,相同点：定期、等额。不同点：已偿还本金的计息方式不同。等额分期偿还法：已经偿还的本金按贷款利率 i 计息。等额偿债基金法：已经偿还的本金（即存入偿债基金的金额）按利率 j 计息。关系：当贷款利率=偿债基金的利率时，等额偿债基金法=等额分期偿还法。,30,例：一笔10000元的贷款，期限为3年，年实际利率为6%。借款人必须在每年末向贷款人支付当年的利息600元，并每隔半年向偿债基金储蓄一次。该偿债基金每年结转4次利息的年名义利率为8%，试构造偿债基金表。解：偿债基金每季度的实际利率为2%，因此每半年的实际利率为 i=(1+0.02)2 1=0.0404 借款人每半年向偿债基金的储蓄额应为,其他计算结果如下表所示。,31,偿债基金表（单位：元）,
