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1、函数的变化率,如何用数学来反映山势的平缓与陡峭程度？,H,A,B,C,D,F,Xk,Xk+1,X0,X1,X2,y,O,例：如图，是一座山的剖面示意图:A是登山者的出发点,H是山顶,登山路线用y=f(x)表示；问题：当自变量x表示登山者的水平位置，函数值y表示登山者所在高度时，陡峭程度应怎样表示？,登山问题,x,选取平直山路AB放大研究:若,自变量的改变量,函数值的改变量,直线AB的斜率:,D1,X3,O,y,x,x0,x1,y0,y1,A(x0,y0),B(x1,y1),O,y,x,x2,x3,y2,y3,C(x2,y2),D1(x3,y3),直线AB的斜率:,直线CD1的斜率:,x,y0,
2、x0,x1,y1,B(x1,y1),y2,C(x2,y2),y3,D(x3,y3),y4,E(x4,y4),平均变化率,曲线陡峭程度,数,形,变量变化的快慢,建构数学,华罗庚,数缺形少直观,形缺数难入微,函数的平均变化率,已知函数 在点 及其附近有定义，令,则当 时,比值叫做函数 在 到 之间的平均变化率,思考:函数平均变化率的几何意义？,O,A,B,x,y,Y=f(x),x0,X0+x,f(x0),f(X0+x),x,直线AB的斜率,函数平均变化率:,函数值的改变量与自变量的改变量之比,观察函数f(x)的图象,过曲线 上的点 割线的斜率。,思考：（1）x、y的符号是怎样的？（2）该变量应如何
3、对应？理解：2、对应性：若,美国康乃大学曾经做过一个有名的“青蛙试验”。试验人员 把一只健壮的青蛙投入热水锅中，青蛙马上就感到了危险，拼命一纵便跳出了锅子。试验人员又把该青蛙投入冷水锅 中，然后开始慢慢加热水锅。刚开始，青蛙自然悠哉游哉，毫无戒备。一段时间以后，锅里水的温度逐渐升高，而青 蛙在缓慢的水温变化中却没有感到危险，最后，一只活蹦 乱跳的健壮的青蛙竟活活地给煮死了。,阅读材料,例1.求函数 在 到 之间的平均变化率,解:当函数 在 到 之间变化的时候,函数的平均变化率为,分析:当 取定值,取不同数值时,该函数的平均变化率也不一样.,(2)求函数 在 到 之间的平均变化率,解:当函数 在
4、 到 之间变化的时候,函数的平均变化率为,课堂练习：甲乙二人跑步路程与时间的关系以及百米赛跑路程和时间的关系分别如图（1）（2）所示，（1）甲乙二人哪一个跑得快？（2）甲乙二人百米赛跑，快到终点时，谁跑得比较快？,知识运用,再做两个题吧!,1、已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及邻近一点B(-1+x,-2+y),则y/x=()A、3 B、3x-(x)2C、3-(x)2 D、3-x,D,y=kx+b在区间 上的平均变化率有什么特点？,2.求下列函数的在区间 平均变化率：（1）y=1（2）y=2x+1（3）y=-2x,例3：已知函数，计算函数在下列区间上的平均变化率。,解:
5、当函数 在 到 之间变化的时候,函数的平均变化率为,瞬时速度,导数的概念,也可记作,若这个极限不存在，则称在点x0 处不可导。,设函数 y=f(x)在点 x=x0 的附近有定义，当自变量 x 在 x0 处取得增量 x(点 x0+x 仍在该定义内）时，相应地函数 y 取得增量 y=f(x0+x)-f(x0)，若y与x之比当 x0的极限存在，则称函数 y=f(x)在点 x0 处可导，并称这个极限为函数 y=f(x)在点 x0 处的导数记为,即,例:高台跳水运动中，秒 时运动员相对于水面的高度是（单位：），求运动员在 时的瞬时速度，并解释此时的运动状态;在 呢?,同理，,运动员在时的瞬时速度为，,上
6、升,下落,这说明运动员在附近，正以大约 的速率。,割线PQ的的变化情况,在,的过程中，,请在函数图象中画出来,你能描述一下吗？,P,Q,M,求已知曲线的切线.,作业,课本82.B2报纸A14,一是:根据物体的路程关于时间的函数求速度和加速度.二是:求已知曲线的切线.,3.1.1 导数的几何意义,一是:根据物体的路程关于时间的函数求速度和加速度.二是:求已知曲线的切线.,课堂小结：,函数的平均变化率,函数的瞬时变化率,3.1.1 导数的几何意义,的切线方程为,即,圆的切线定义并不适用于一般的曲线。通过逼近的方法，将割线趋于的确定位置的直线定义为切线（交点可能不惟一）适用于各种曲线。所以，这种定义
7、才真正反映了切线的直观本质。,根据导数的几何意义，在点P附近，曲线可以用在点P处的切线近似代替。,大多数函数曲线就一小范围来看，大致可看作直线，所以，某点附近的曲线可以用过此点的切线近似代替，即“以直代曲”（以简单的对象刻画复杂的对象）,1.在函数 的图像上，(1)用图形来体现导数，的几何意义.,(2)请描述，比较曲线分别在 附近增（减）以及增（减）快慢的情况。在 附近呢？,(2)请描述，比较曲线分别在 附近增（减）以及增（减）快慢的情况。在 附近呢？,增（减):,增（减）快慢：,=切线的斜率,附近：,瞬时,变化率,（正或负）,即：瞬时变化率（导数）,（数形结合，以直代曲）,画切线,即：导数,
8、的绝多值的大小,=切线斜率的绝对值的 大小,切线的倾斜程度（陡峭程度）,以简单对象刻画复杂的对象,(2)曲线在 时，切线平行于x轴，曲线在 附近比较平坦，几乎没有升降,曲线在 处切线 的斜率 0 在 附近，曲线，函数在 附近单调,如图，切线 的倾斜程度大于切线的倾斜程度，,大于,上升,递增,上升,这说明曲线在 附近比在附近 得迅速,递减,下降,小于,下降,2如图表示人体血管中的药物浓度c=f(t)（单位：mg/ml）随时间t（单位：min）变化的函数图像，根据图像，估计 t=0.2,0.4,0.6,0.8（min）时，血管中 药物浓度的瞬时变化率，把数据用表格 的形式列出。(精确到0.1),血
9、管中药物浓度的瞬时变化率,就是药物浓度,从图象上看,它表示,曲线在该点处的切线的斜率.,函数f(t)在此时刻的导数,（数形结合，以直代曲）,以简单对象刻画复杂的对象,抽象概括：,是确定的数,是的函数,导函数的概念：,小结：.函数 在 处的导数 的几何意义，就是函数 的图像在点 处的切线AD的斜率（数形结合）,切线 AD的斜率,3.导函数(简称导数),2.利用导数的几何意义解释实际生活问题，体会“数形结合”，“以直代曲”的数学思想方法。,以简单对象刻画复杂的对象,课堂小结,今天这节课，你学到了哪些知识？,小结：,1.函数的平均变化率定义2.函数的平均变化率的几何意义,3.函数的平均变化率的求法,是曲线上两点对应割线的斜率,美国康乃大学曾经做过一个有名的“青蛙试验”。试验人员 把一只健壮的青蛙投入热水锅中，青蛙马上就感到了危险，拼命一纵便跳出了锅子。试验人员又把该青蛙投入冷水锅 中，然后开始慢慢加热水锅。刚开始，青蛙自然悠哉游哉，毫无戒备。一段时间以后，锅里水的温度逐渐升高，而青 蛙在缓慢的水温变化中却没有感到危险，最后，一只活蹦 乱跳的健壮的青蛙竟活活地给煮死了。,阅读材料,课堂小结：,函数的平均变化率,函数的瞬时变化率,布置作业：,课本：P84 练习B 1、2、3 P89 练习A 2、B 1,
