《分层抽样》PPT课件.ppt

《《分层抽样》PPT课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《分层抽样》PPT课件.ppt（83页珍藏版）》请在三一办公上搜索。

1、第四章 分层抽样,本章要点,本章主要是对分层抽样理论包括抽样方式、估计量及其性质、样本量的确定及分配、分层抽样设计效果等进行系统全面地介绍。具体要求：正确理解层、分层抽样以及分层随机抽样的涵义，分层抽样的特点及作用；掌握分层抽样的参数估计量及其性质；掌握分层抽样样本量的确定方法；了解分层抽样的设计效果；了解分层抽样其他有关理论问题，包括层权偏差、最优分配偏差、事后分层等。,第一节 抽样方式 第二节 简单估计量及其性质第三节 样本量的分配第四节 样本量的确定第五节 分层抽样设计效果分析第六节 进一步讨论的问题,一、分层抽样与分层随机抽样 在抽样之前，先将总体N个单元划分成L个互不重复的子总体，每

2、个子总体称为层，它们的大小分别为，这L个层构成整个总体（）。然后，在每个层中分别独立地进行抽样，这种抽样就是分层抽样，所得到的样本称为分层样本。如果每层都是简单随机抽样，则称为分层随机抽样，所得到的样本称为分层随机样本。,第一节 抽样方式,二、分层抽样的特点及作用（一）分层抽样可以提高参数估计的精度。（二）分层抽样不仅能对总体参数进行估计，而且能对各层（子总体）参数进行估计。（三）便于依托行政管理机构进行组织和实施，同时还可以根据各层的不同特点采用不同的抽样方式。（四）分层抽样样本在总体中分布更加均匀。,第一节 抽样方式,三、层的划分原则（一）层内单元具有相同性质，通常按调查对象的不同类型进行

3、划分。这时，分层抽样能够对每一类的目标量进行估计。（二）尽可能使层内单元的标志值相近，层间单元的差异尽可能大，从而达到提高抽样估计精度的目的。（三）既按类型又按层内单元标志值相近的原则进行多重分层，同时达到实现估计类值以及提高估计精度的目的。（四）为了抽样组织实施的方便，通常按行政管理机构设置进行分层。,第一节 抽样方式,四、符号说明 设总体分为L层，下标h表示层号(h=1，2，L)。则关于第h层的记号如下：第h层总体单元数：（通常已知），且 第h层样本单元数：，且 第h层总体和样本第i个单元标志值(观察值)：,第一节 抽样方式,第一节 抽样方式,层权：第h层抽样比：第h层总体均值：第h层样本

4、均值 第h层总体总值：,第一节 抽样方式,第h层样本总值：第h层总体方差 第h层样本方差：,第二节 简单估计量及其性质,一、总体均值的估计(一)简单估计量的定义 在分层抽样中，对总体均值 的估计是通过对各层的 的估计，按层权 加权平均得到的。公式为：,如果得到的是分层随机样本，则总体均值 的简单估计为：,第二节 简单估计量及其性质,(二)估计量的性质性质l 对于一般的分层抽样，如果 是 的无偏估计(h=1,2,，L)，则 是 的无偏估计。的方差为：,值得强调的是，在分层抽样中只要对各层估计是无偏的，则对总体的估计也是无偏的。因此，各层可以采用不同的抽样方法，只要相应的估计量是无偏的，则对总体的

5、推算也是无偏的。,第二节 简单估计量及其性质,性质2 对于分层随机抽样，是 的无偏估计，的方差为：,性质3 对于分层随机抽样，的一个无偏估计为：,第二节 简单估计量及其性质,二、总体总量的估计(一)简单估计量的定义总体总量Y的估计为：,如果得到的是分层随机样本，则总体总量Y的简单估计为:,第二节 简单估计量及其性质,（二）估计量的性质 性质4 对于一般的分层抽样，如果 是 的无偏估计，则 是Y的无偏估计。的方差为：,第二节 简单估计量及其性质,性质 5 对于分层随机抽样，的方差为：,性质 6 对于分层随机抽样，的一个无偏估计为：,第二节 简单估计量及其性质,【例4.1】为调查某地区住户的平均家

6、庭成员数，将该地区分成城市和乡村2层，每层按简单随机抽样抽取10户，调查所获得的数据如表4-1。请估计该地区住户的平均家庭成员数及其95%的置信区间。,95%的置信区间为，其中。经计算可得：平均家庭成员数的95%的置信区间为：（3.24,4.24）,第二节 简单估计量及其性质,第二节 简单估计量及其性质,三、总体比例的估计（一）简单估计量的含义 记层比例为，层样本比例，其中 与 是第h层总体及样本中具有所考虑特征的单元数，则总体比例P的估计为：,第二节 简单估计量及其性质,（二）估计量的性质 如果定义,则对总体比例的估计类似对总体均值的估计，这时 具有同样的性质。,第二节 简单估计量及其性质,

7、性质7 对于一般的分层抽样，如果 是 的无偏估计（h=1,2,，L），则 是P的无偏估计。的方差为：,性质8 对于分层随机抽样，是P的无偏估计，则：,的方差为：,第二节 简单估计量及其性质,第二节 简单估计量及其性质,性质 9 对于分层随机抽样，的一个无偏估计为：,第二节 简单估计量及其性质,【例4.2】对某地区的居民拥有家庭电脑的情况进行调查，以居民户为抽样单元，根据收入水平将居民户划分为四层，每层按简单随机抽样抽取10户，调查获得如下数据（单位：台），如表4-3。估计该地区居民拥有家庭电脑的比例计估计的标准差。,第二节 简单估计量及其性质,解：由上表可得:,第二节 简单估计量及其性质,因此

8、，该地区居民拥有家庭电脑比例的估计为：,估计量的方差为：,第二节 简单估计量及其性质,估计量的标准差为：,第三节 样本量的分配,在分层抽样抽样中，若总样本量n一定时，还需研究各层应该分配多少样本量的问题，因为对总体参数进行估计时，估计量的方差不仅与各层的方差有关，还与各层所分配的样本量有关。实际工作中有不同的分配方法，既可以按各层单元数占总体单元数的比例分配，也可以采用使估计量总方差达到最小等几种方法进行样本量的分配。,第三节 样本量的分配,一、比例分配,比例分配指的是按各层单元数占总体单元数的比例，也就是按各层的层权进行分配，即：,这时：,第三节 样本量的分配,总体比例P的估计是：,对于分层

9、随机抽样，这时总体均值的估计值是：,第三节 样本量的分配,的方差为：,总体中的任一个单元，不管它在哪一层，都以同样的概率入样，因此按比例分配的分层随机样本，估计量的形式特别简单。这种样本也称为自加权的样本。,第三节 样本量的分配,的方差为：,第三节 样本量的分配,二、最优分配（一）最优分配 最优分配是指在分层随机抽样中，如何将样本量分配到各层，使得在总费用给定的条件下，估计量的方差达到最小；或在给定估计量方差的条件下，使总费用最小，能满足这个条件的样本量分配就是最优分配。如果我们考虑简单线性费用函数，总费用,第三节 样本量的分配,则这时的最优分配是：,由此得出下面的行为准则，如果某一层单元数较

10、多，内部差异较大，费用比较省，则对这一层的样本量要多分配一些。,第三节 样本量的分配,（二）Neyman（内曼）分配,对于分层随机样本，作为特例，如果每层抽样的费用相同，即 时，最优分配可简化为：,这种分配称为Neyman分配。这时，达到最小。,第三节 样本量的分配,【例4.3】对某地区的居民豆制品年消费支出进行调查，以居民户为抽样单元，根据收入水平将居民户划分为四层，每层按简单随机抽样抽取10户，调查获得如下数据（单位：元），如表4-4。样本量为n=40，则按比例分配和Neyman分配时，各层的样本量应为多少？,第三节 样本量的分配,解：由上表，,各层的层权及抽样比为：,第三节 样本量的分配

11、,各层样本均值及方差为：,同理可得：,按比例分配时，各层的样本量为：,第三节 样本量的分配,即各层的样本量分别为3，6，11，22,对于Neyman分配，根据前面对 及 的计算结果，得到：,第三节 样本量的分配,因此，按Neyman分配时，各层应分配的样本量为：,第三节 样本量的分配,即各层的样本量分别为3，7，23，7。,（三）某些层要求大于100%抽样时的修正 按最优分配时，有时抽样比 较大，某个层的 又比较大，则可能出现按最优分配计算的这个层的样本量 超过 的情况。实际工作中，如果第k层出现这种情况，最优分配是对这个层进行100%抽样，即取，然后，将剩下的样本量 按最优分配各层。,第三节

12、 样本量的分配,一、一般公式 令，其中 已经选定，于是当方差V给定时，,第四节 样本量的确定,得到确定样本量的一般公式为：,如果估计精度是以误差限的形式给出，则，,第四节 样本量的确定,当按比例分配时，,第四节 样本量的确定,实际工作中，n的计算可以分为两步，先计算,然后进行修正：,当按Neyman分配时，,【例4.4】（续例4.3）如果要求在95%置信度下，相对误差不超过10%，则按比例分配和Neyman分配时，总样本量分别为多少？解：当按比例分配时，由前面的计算结果，可以得到各层的,第四节 样本量的确定,在95%值信度时，对应的t=1.96。又,第四节 样本量的确定,因此得到：,由此可以得

13、到：,对 进行修正，得到修正后的n：,第四节 样本量的确定,当按Neyman分配时：,综合上述，按比例分配时，样本量至少应为179，按Neyman分配时，样本量至少应为110。,当方差V给定时，得到样本量为：,第四节 样本量的确定,二、最优分配需要考虑费用时 在最优分配时，如果考虑费用为简单线性费用函数：,则：,而当总费用C是给定时，有：,第四节 样本量的确定,则：,第四节 样本量的确定,对其求和得到样本量为：,第四节 样本量的确定,三、总体参数为P的情形 当方差V给定时，如果 都比较大，使得,则总样本量为：,或：,第四节 样本量的确定,（二）Neyman分配,计算样本量之前，需要对 作预估计

14、。,第四节 样本量的确定,【例4.5】（续例4.2）如果要求在95%置信度下，绝对误差不超过5%，则按比例分配和Neyman分配时，总样本量分别为多少？,解：在置信度95%时，对应的t=1.96，而绝对误差d=5%，因此,第四节 样本量的确定,按比例分配时：可以得到,第四节 样本量的确定,调整后的样本量为：,Neyman 分配时：,所以，按比例分配和按Neyman分配所需的样本量分别为206和196。,第五节 分层抽样设计效果分析,一、分层随机抽样与简单随机抽样的比较 本节我们将从理论上将分层随机抽样与简单随机抽样进行效果比较，也即在相同样本量下，比较其估计量的方差大小。为比较分层随机抽样于简

15、单随机抽样的精度，我们拟在样本量为比例分配的形式下讨论。,记简单随机抽样（对均值估计量）的方差为：,比例分配的分层随机抽样相应估计量的方差为：,第五节 分层抽样设计效果分析,根据总体单元指标的平方和分解可得：,如果各层 都比较大，则：,因而：,第五节 分层抽样设计效果分析,上式右边第二项是层间平方和，为非负，因此有：,方差差值为：,这表明层平均数的差异愈大，分层的效果就愈好，若层平均数都相等，则分层与不分层效果相同。,第五节 分层抽样设计效果分析,二、分层随机抽样各种样本量分配方法之间的比较 主要针对比例分配与最优分配抽样效果进行比较分析。为此考虑比例分配方差 与 最优分配方差之差。,其中：,

16、第五节 分层抽样设计效果分析,结论：如果各层均值差异越大，则采用按比例分配的方式较好，而当各层的标准差相差很大时，则最优分配更好。实际工作中，除非各层的标准差相差很大，人们通常还是喜欢采用按比例分配的方式，这主要是因为最优分配只是针对某个指标(或变量)而言的。实际调查项目中，目标变量通常不止一个，这时，针对某个变量的最优分配，对其他变量可能就是很不合适的，因此，在调查多个目标变量时，按比例分配的分层抽样可能更好些。,第六节 进一步讨论的问题,一、层权误差对估计量的影响 在分层抽样中，我们总是假定层权（或每层的大小）是已知的。如果未知且不能精确地估计时，将对估计量带来十分严重的影响。,设估计的权

17、重为，因此实际采用的对总体均值的估计是：,对于分层随机抽样，仍是 的无偏估计，但：,第六节 进一步讨论的问题,因此，不是 的无偏估计，且偏倚B为：,该偏倚只依赖于 的偏差，而与样本量n无关。因此当考虑 的均方误差时,当n增加时，前一项虽然逐渐减少，但第二项保持不变，它不随着n的增大而减少，因而 不再是一个可用的估计量。当n超过一定量时，分层估计量 的均方误差就可能超过简单随机抽样的方差。由于分层获得的精度上的得益会完全丧失。,第六节 进一步讨论的问题,二、最优分配偏差对方差的影响,令 是理论最优分配的样本量，而实际分配为，,根据指定分配及最优分配，估计量 的方差分别为：,第六节 进一步讨论的问

18、题,因此由于实际分配 偏离了理论最优分配 引起的方差增加为：,根据最优（奈曼）分配公式可解得,第六节 进一步讨论的问题,即有：,第六节 进一步讨论的问题,如果忽略有限总体修正系数fpc,因此，估计量方差的相对增加为：,由于，因此上式右边即是 的加权平均，它的上限是最大相对偏离值的平方。如果最大相对偏离g=50%，则方差最多增加25%；若最大相对偏离g=20%，则方差最多增加4%。所以在一般情形，由于最优分配偏差引起的方差增大是相当有限的。,第六节 进一步讨论的问题,三、层数确定,有时，分层是为了提高抽样效率，这时就要考虑如何进行分层。按调查目标量 进行分层当然是最好的，但我们在调查之前并不知道

19、 的值，因此分层只能是通过与 高度相关的辅助指标 来进行。常用的一种方法是确定层界的快速近似法，它是由戴伦纽斯(Dalenius)与霍捷斯(Hodges)提出的。其做法是将分层变量(例如xi)分布的累积平方根进行等分来获得最优分层，因此这种方法也称为累积平方根法。,第六节 进一步讨论的问题,当分层是按自然层或单元类型划分时，层数是自然的，但当遇到运用累积平方根法进行分层时，就存在确定层数的问题。在实际工作中，因为要保证每个层有样本单元，因此层数不能超过样本量，如果要给出估计量方差的无偏估计，则每层至少2个样本单元，那么层数不能超过。,通过对分层抽样与简单随机抽样的比较，我们知道前者比后者的精度

20、高。因此人们设想是否对总体尽可能多地进行划分，使得层内差异降低，这时就要涉及层数增加时估计量方差的下降速度。,第六节 进一步讨论的问题,首先考虑以目标量本身作为分层指标。以最简单的情形为例，Y是区间d上的均匀分布，则总体方差，样本量为n的简单随机抽样简单估计量的方差为。将总体分成大小相同的L层，并按比例分配样本量，即 则,第六节 进一步讨论的问题,但在工作中，本身未知，只能通过与 高度相关的辅助指标 来进行。这时估计量的方差可以分为两部分，一部分与层数有关，另一部分与层数无关，用模型表示即，其中 是方差中受层数影响的部分，是不受层数影响的部分。因此，当层数增加到一定的时候，在精度上的收益将非常

21、小。根据研究，除非Y与X的相关系数，层数一般不超过6为宜。,第六节 进一步讨论的问题,四、多目标分层的样本量的确定,本节从最优分配角度来考虑多指标情形样本量的分配方法。本质上这些方法都是对不同指标最优分配结果的折衷。（一）最优分配平均法 在所考虑的所有目标中，选取最重要的k个，对每个指标j，计算最优分配的层样本量，然后计算它们的平均值：,第六节 进一步讨论的问题,(二)查特吉(Chatterjee)法,考虑实际分配的样本量 对每个目标偏离其最优分配 引起的方差相对增加RVj：,取极小化RVj的平均值 的，结果为,第六节 进一步讨论的问题,（三）耶茨（Yates）法,将每个目标估计量的方差看作损

22、失，考虑总的损失函数：,第六节 进一步讨论的问题,若非用函数仍是简单的线性形式,耶茨法的目标是极小化,根据柯西-许瓦兹不等式，极小值当且仅当,时达到。若令,第六节 进一步讨论的问题,则最优分配为：,从而：,第六节 进一步讨论的问题,五、事后分层 对于分层抽样，我们一般在抽样之前将总体中的所有单元分好层，但在实际工作中，有时没有层的抽样框，或总体特别大来不及事先分层，或者几个变量都适合于分层，要进行事先的交叉分层比较困难，并且我们并不需要交叉分层后每个子层的估计，如需要按年龄分层的结果，还需要按受教育程度分层的结果，但并不需要这两个指标的交叉结果。这时如果想利用分层抽样的优点，可以采用对样本的事

23、后分层方法。,第六节 进一步讨论的问题,要采用事后分层技术，要求我们可以通过某种途径知道各层的层大小 或层权。,如果利用事后分层提高估计精度，而层权与实际情况相差很大，则事后分层技术不能达到提高估计精度的目的。,事后分层方法还可以用于Yz值存在离群值(特别大或特别小)的情况，这时要考虑将总体的离群单元分解，进行事后分层。,第六节 进一步讨论的问题,最简单的事后分层是先抽取一个样本量为咒的简单随机样本，然后将样本按某个特征进行分层，落到第h层的单元数为：,则用估计量,来替代样本均值。,当固定且都大于零的条件下，落到各层的样本可以看成是独立地从各层中抽取的简单随机样本。这时，事后分层估计量 的方差

24、为：,式中：,第六节 进一步讨论的问题,理论上，只要n充分大，事后分层估计量是无偏估计，且它的方差有如下性质：,第六节 进一步讨论的问题,【例3.7】某高校欲了解在校学生用于课外进修(如各种考证辅导班、外语辅导班等)的开支，在全校8 000名学生中抽出了一个200人的简单随机样本。根据学生科的统计，本科生人数为全校学生的70%，调查最近一个学期课外进修支出(单位：元)的结果如表4.4。试估计全校学生用于课外进修的平均开支。,第六节 进一步讨论的问题,解：全校学生用于课外进修的平均开支为：,估计的方差为：,第六节 进一步讨论的问题,估计的标准差为：,如果采用简单估计，则估计的方差为：,估计的标准差为：,编号为奇数的习题答案,4.1（略）4.3解：,（1），（2）按比例分配，（3）Neyman分配，4.5，置信区间（60.63，90.95）元。4.7（1）错；（2）错；（3）错；（4）对；（5）样本量足够大时是对的。,