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1、图说投影,陆 俊青年论坛科普讲座2013年4月3日,圆圈到直线的投影 N 映到 1:1 映射,1.球极投影,北极点,南极点,圆圈,直线,球面到平面的投影 N 映到 1:1映射,S2 球面,P 平面,圆圈到直线的投影(极点:O)Q1,Q2 映到 2:1 映射（二次覆盖）,2.改变极点位置,空间曲线到平面曲线的投影 CC P1,P2 映到 P几乎 1:1 映射(除了P1,P2 外),3.空间曲线的投影,空间曲线到平面曲线的投影 CC 1:1 映射，OP与C相切,结点：x2-y2=0(局部坐标（x,y）)（普通）尖点：x2-y3=0,C:空间曲线，O:极点，投影 C C曲线一般投影定理:O 的位置充
2、分一般,4.曲线一般投影定理,C只含有结点,曲面到平面投影 S P(极点O取）几乎2：1映射（二次覆盖）Q:分歧点,5.曲面投影,平面,原像仅有一点Q,分歧轨迹 R:分歧点全体带结点的二次覆盖,平面,几乎 3:1 投影（三次覆盖）简单分歧点 Q:原像仅有两点Q1,Q2三重分歧点 T:原像仅有一点T,Kn:n 维空间,Kn-1 子空间(K复数域)r维几何图形 极点O的投影 压缩背景空间的维度,6.高维投影,X,空间压缩投影 会挤压出“奇点”四维空间中的球,复变函数图 y2=x,三维空间中的压缩像,克莱因瓶压缩至3维空间 中的示意模型 实射影平面压缩至3维 空间中的示意模型,X:r 维图形，Kn：
3、n维空间若 n2r+1,则 X 可压缩成 K2r+1 中的光滑图形（即无“奇点”）曲线可压缩成 K3 中的光滑曲线曲线压缩到 K2 最多出现结点（见前）曲面可压缩成 K5 中的光滑曲面,S:K5 中的曲面，O极点.一般投影(O的位置充分一般）S:一般曲面（含有非正常二重点）,7.曲面的一般投影,非正常二重点,示意图,S:K4 中的一般曲面，O极点.一般投影(O的位置充分一般）S有三类奇点:结点 三重点 拧点,曲面一般覆盖:S 到平面 P 的一般投影S 在每点附近的投影局部近似成：平面、平面二次覆盖或上述平面三次覆盖,分歧轨迹 B:不可约尖点曲线（即只含结点和尖点）尖点个数c，结点个数n,B的次
4、数d.c,d,n 有很强限制条件.比如:c是3的倍数，n是4的倍数，,尖点曲线示意图,Chisini猜想:次数 4 的曲面一般覆盖由分歧轨迹唯一确定.（Kulikov 2008 证明该猜想）.反例（Catanese，Chisini）:4次覆盖，Veronese曲面 S,黎曼存在性问题:给定曲线B,是否存在曲面一般覆盖,恰以B为分歧轨迹?寻找刻画 B 的适当条件。（Enriques,Segre,Chisini,Friedman,Teicher，Tan）曲线的黎曼存在性定理（Riemann 拓扑条件基本群与单值),多项式:f(x,y)=yd+a1(x)yd-1+ad(x).代数曲线 C：满足 f=0 的点集(x,y).(几何观点)投影 p:C L,(x,y)x.L：直线p:d次覆盖,8.多项式函数与投影,（函数观点）多值函数 y=y(x),(方程观点）f(x,y)=0 关于y有d个根（投影)分歧点=(函数)支点=（多项式）重根,点x绕支点转一周后,根的顺序发生变化单值：环路 r 映到置换分歧点 p1,ps,L 直线基本群到置换群,r,Thank You!,
