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1、第五章 相似矩阵及二次型,第一节 向量的内积、长度及正交性一、内积的定义和性质,定义1,内积的运算性质,内积,定义2,令,向量的长度具有下述性质：,二、向量的长度及性质,单位向量,夹角,正交的概念,正交向量组的概念,正交,若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向量组为正交向量组,三、正交向量组的概念及求法,证明,正交向量组的性质,例1 已知三维向量空间中两个向量,正交，试求 使 构成三维空间的一个正交基.,向量空间的正交基,即,解之得,由上可知 构成三维空间的一个正交基.,则有,解,规范正交基,例如,（1）正交化，取，,求规范正交基的方法,（2）单位化，取,施密特正交化过程,例2,解,再把它们
2、单位化，取,几何解释,例3,解,把基础解系正交化，即合所求亦即取,定义4,四、正交矩阵与正交变换,注意：为正交矩阵的充要条件是 的列向量都是单位向量且两两正交,性质 正交变换保持向量的长度不变,证明,定义5 若 为正交阵，则线性变换 称为正交变换,例4,解,第二节 方阵的特征值与特征向量,一、特征值与特征向量的概念,说明,解,例5,例6,解,解,得基础解系为：,例 证明：若 是矩阵A的特征值，是A的属于的特征向量，则,证明,第三节 相似矩阵,一、相似矩阵与相似变换的概念,证明,推论 若 阶方阵A与对角阵,结论,三、利用相似变换将方阵对角化,说明,如果 的特征方程有重根，此时不一定有 个线性无关
3、的特征向量，从而矩阵 不一定能对角化，但如果能找到 个线性无关的特征向量，还是能对角化,定理5对称矩阵的特征值为实数.,第四节 对称矩阵的对角化,一、对称矩阵的性质,证明,于是,根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化化为对角矩阵，其具体步骤为：,二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法,2.,1.,第五节 二次型及其标准形,一、二次型及其标准形的概念,称为二次型.,1用和号表示,对二次型,二、二次型的表示方法,2用矩阵表示,三、二次型的矩阵及秩,在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵，也可唯一地确定一个二次型这样，二次型与对称矩阵之间存在一一对应的
4、关系,设,四、化二次型为标准形,对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换，将二次型化为标准形,说明,用正交变换化二次型为标准形的具体步骤,第六节 用配方法化二次型成标准形,用正交变换化二次型为标准形，其特点是保持几何形状不变,问题有没有其它方法，也可以把二次型化为标准形？,问题的回答是肯定的。下面介绍一种行之有效的方法拉格朗日配方法,解,例1,所用变换矩阵为,第七节 正定二次型,一、惯性定理,二、正(负)定二次型的概念,证明,充分性,故,三、正(负)定二次型的判别,必要性,故,推论对称矩阵 为正定的充分必要条件是：的特征值全为正,这个定理称为霍尔维茨定理,定理3 对称矩阵 为正定的充分必要条件是：的各阶主子式为正，即,对称矩阵 为负定的充分必要条件是：奇数阶主子式为负，而偶数阶主子式为正，即,解,
