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1、一、可逆矩阵的概念,二、可逆矩阵的判定、求法,2.4 可逆矩阵,三、逆矩阵的运算规律,四、矩阵方程,回忆,问题的提出：,即:,可逆矩阵,.定义：,可逆矩阵也叫做非奇异矩阵或非退化矩阵,注：可逆矩阵一定是方阵，并且它的逆矩阵是与它同阶的方阵。,可逆矩阵A的逆矩阵也是可逆的。,那么称,一.可逆矩阵的定义：,例如,矩阵A,B互为可逆矩阵,矩阵可逆的条件,现在的问题是：在什么条件下矩阵 A 是可逆,的？,如果 A 可逆，怎样求 A-1？,为此先引入伴随,矩阵的概念.,定理,称为 A 的伴随矩阵.,求逆矩阵方法一：伴随矩阵法,注:1)此定理适用于低阶(2或3阶)矩阵的求逆.,2)此定理在理论推导中非常有
2、用.,3)阶数较高的矩阵求逆,我们要寻求新的方法.,中元素 aij 的代数余子式，矩阵,伴随矩阵,定义 设 Aij 是矩阵,例1:判断下列矩阵是否可逆,若可逆,求其逆矩阵,解:,例2 求矩阵A的逆矩阵，其中,解,逆矩阵的性质,定理若矩阵可逆，则A的逆矩阵是唯一的.,证明若B、C都是A的逆矩阵，则,于是,性质2若A可逆，则 可逆，且,事实上，这由等式，可以直接推出.,矩阵求逆运算规律,性质1若A可逆，则 可逆，且,性质2两个n阶可逆矩阵A、B的乘积AB可逆且,证明由于故AB可逆，且,一般地，,性质3可逆矩阵A的转置矩阵可逆，且,证,性质4,性质5,由初等矩阵的定义可以看出，初等矩阵都是可逆的，且
3、：,可逆矩阵与初等矩阵的关系,定理 n阶方阵A是可逆矩阵的充要条件是A可写成初等矩阵的乘积,定理 n阶方阵A是可逆矩阵的充要条件是A可以经过初等变换化为单位矩阵,求逆矩阵方法二：初等变换法,例,所以 A 可逆，且,例,试判断A是否可逆，若可逆求,从而知，A不可逆。,（1）判断矩阵A是否可逆，可直接对,作初等行变换，若变换过程中，与A等价的矩阵中有,一行为0，就能判断A不与I 等价，从而知A不可逆。,注意：,（2）若作,阶分块矩阵,只对分块矩阵,单位矩阵时，,作初等列变换，当可逆矩阵A化为,子块 I 就化成了,解,例如,求利用逆矩阵求解线性方程组(解矩阵方程)|,如果矩阵A和C分别是m阶和n阶可
4、逆矩阵，,矩阵B是mn 阶矩阵，则,1）矩阵方程 AX=B的解为,2）矩阵方程 XA=B的解为,3）矩阵方程 AXC=B的解为,一般地,四、逆矩阵的性质,性质1若A可逆，则 可逆，且,性质2两个n阶可逆矩阵A、B的乘积AB可逆且,性质3可逆矩阵A的转置矩阵可逆，且,性质4,性质5,1、利用可逆的充要条件，设法证明,2、利用矩阵可逆的定义，若能验证,则A可逆，且,3、利用可逆矩阵的性质证明.,证明矩阵A可逆的方法,例,若方阵A满足A3=0，证明：可逆，且,证：,例6 若A是非奇异矩阵，且AB=AC,则B=C.,证,因为A为非奇异矩阵，所以A可逆.,例 设 A 为 n 阶矩阵(n 2),证明,|A
5、*|=|A|n-1.,证 由于 AA*=A*A=|A|I,所以,|A|A*|=|A|n(4),下面分三种情形讨论:,(1)|A|0,即 A 可逆,(4)式两端除以|A|即,得|A*|=|A|n-1.,(2)|A|=0,且 A=O,则 A*=O,结论显然成,立.,(3)|A|=0,但 A O,反设|A*|0,则 A*可逆,因而 A=(AA*)(A*)-1=(|A|I)(A*)-1=|A|(A*)-1=O,故 A=O,与 A O 矛盾,所以,|A*|=0=|A|n-1.,例 设 n 阶矩阵 A,B,A+B 均可逆,证明,(A-1+B-1)-1=A(A+B)-1B=B(B+A)-1A.,证 将 A-
6、1+B-1 表示成已知的可逆矩阵的乘积:,A-1+B-1=A-1(I+AB-1)=A-1(BB-1+AB-1),=A-1(B+A)B-1.,由可逆矩阵的性质可知,(A-1+B-1)-1=A-1(A+B)B-1-1=B(B+A)-1A.,同理可证另一个等式也成立.,克拉默法则的另一证法,利用矩阵的逆，可以给出克拉默法则的另一种,推导法.,线性方程组,可以写成,AX=B.(6),如果|A|0，那么 A 可逆.,用,X=A-1B,代入(6)，得恒等式 A(A-1B)=B，这就是说 A-1B,是一解.,如果,X=C,是(6)的一个解，那么由,AC=B,得,A-1(AC)=A-1B，,即 C=A-1B.,这就是说，解 X=A-1B 是唯一的.,用 A-1 的公式(4),代入，乘出来就是克拉默法则中给出的公式.,授课题目 4.2 可逆矩阵授课时数：2课时教学目标：掌握可逆矩阵及逆矩阵的概念，可逆矩阵的性质，求逆矩阵的公式 可逆矩阵的判定.,教学重点：可逆矩阵的判定，求逆矩阵的公式,可逆矩阵的性质.教学难点：逆矩阵的定义，伴随矩阵与矩阵的关系,
