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1、1,4.3 可降阶高阶微分方程,一、型的微分方程,二、型的微分方程,三、型的微分方程,2,一、,令,因此,即,同理可得,依次通过 n 次积分,可得含 n 个任意常数的通解.,型的微分方程,3,例1.,解:,4,例2.质量为 m 的质点受力F 的作用沿 ox 轴作直线,运动,在开始时刻,随着时间的增大,此力 F 均匀地减,直到 t=T 时 F(T)=0.,如果开始时质点在原点,解:据题意有,t=0 时,设力 F 仅是时间 t 的函数:F=F(t).,小,求质点的运动规律.,初初速度为0,且,对方程两边积分,得,5,利用初始条件,于是,两边再积分得,再利用,故所求质点运动规律为,6,型的微分方程,
2、设,原方程化为一阶方程,设其通解为,则得,再一次积分,得原方程的通解,二、,7,例3.求解,解:,代入方程得,分离变量,积分得,利用,于是有,两端再积分得,利用,因此所求特解为,8,三、,型的微分方程,令,故方程化为,设其通解为,即得,分离变量后积分,得原方程的通解,9,例4.求解,代入方程得,两端积分得,(一阶线性齐次方程),故所求通解为,解:,10,例5.解初值问题,解:令,代入方程得,积分得,利用初始条件,根据,积分得,故所求特解为,得,11,为曲边的曲边梯形面积,上述两直线与 x 轴围成的三角形面,例6.,二阶可导,且,上任一点 P(x,y)作该曲线的,切线及 x 轴的垂线,区间 0,
3、x 上以,解:,于是,在点 P(x,y)处的切线倾角为,满足的方程.,积记为,(99 考研),12,再利用 y(0)=1 得,利用,得,两边对 x 求导,得,定解条件为,方程化为,利用定解条件得,得,故所求曲线方程为,13,M:地球质量m:物体质量,例7.,静止开始落向地面,求它落到地面时的速度和所需时间,(不计空气阻力).,解:如图所示选取坐标系.,则有定解问题:,代入方程得,积分得,一个离地面很高的物体,受地球引力的作用由,14,两端积分得,因此有,注意“”号,15,由于 y=R 时,由原方程可得,因此落到地面(y=R)时的速度和所需时间分别为,16,说明:若此例改为如图所示的坐标系,解方程可得,问:此时开方根号前应取什么符号?说明道理.,则定解问题为,17,内容小结,可降阶微分方程的解法,降阶法,逐次积分,令,令,18,思考与练习,1.方程,如何代换求解?,答:令,或,一般说,用前者方便些.,均可.,有时用后者方便.,例如,2.解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题?,答:(1)一般情况,边解边定常数计算简便.,(2)遇到开平方时,要根据题意确定正负号.,作 业,习 题 四,（P227）,1（1）（3）（5）（7）；2（1）（4）；3。,20,
